Увод у сличност троуглова

... Када упоредимо троугао ABC са троуглом XYZ, очигледно је да нису подударни, да имају веома различите дужине страница. Али чини се да постоји неки интересантан однос између ова два троугла. Прво, сви њихови одговарајући углови су једнаки. Дакле, угао овде, угао BAC је подударан углу YXZ. Угао BCA је подударан углу YZX, а угао ABC је подударан углу XYZ. Дакле, сви њихови одговарајући углови су једнаки. И такође уочавамо да су дужине страница пропорционалне. Тако, да би стигли од дужине XZ до дужине AC, можемо помножити са 3. Множимо са 3 тамо. Да би стигли од дужине XY до дужине AB, која је одговарајућа страница, множимо са 3. Треба да помножимо са 3. И коначно, да би стигли од дужине YZ до дужине BC, такође множимо са 3. Дакле, у суштини, троугао АВС је увећана пропорционална верзија троугла ХУZ. Да су биле истих дужина, то би били потуно подударни троуглови. Али један је већи, увећана верзија другог. Или је овај умањена верзија тог тамо. Ако помножите све странице са 3, стижете до овог троугла. Значи, не можемо их назвати подударним, али ово се чини примером специјалног односа. Тако, овај посебан однос називамо сличност. Значи, можемо записати да је троугао АВС сличан троуглу... и желимо да се уверимо да су странице у одговарајућем редоследу... Троугао АВС је сличан троуглу ХУZ. ...ХУZ. И тако, базирано на ономе што смо управо видели, постоје заправо три идеје овде. А то су све еквивалентни начини размишљања о сличности. Један начин размишљања о томе је да је један увећана пропорционална верзија другог. Дакле, увећана или умањена прпорционална верзија оног другог. Када причамо о подударности, морају да буду потпуно једнаки. Можете га ротирати, можете га померати, можете га окретати. Али када урадите све те ствари они би морали суштински да буду идентични. Код сличности, можете ротирати, можете померати, можете окретати. И такође можете скаларно увећавати или смањивати нешто у циљу да буде слично. Тако, на пример, рецимо да је троугао CDE, ако знамо да је троугао CDE подударан троуглу FGH, тада знамо са сигурношћу да су они и слични. Они су прпорционални са коефицијентом 1. Тада знамо, за сигурно, да је троугао CDE такође сличан троуглу FGH. Али не важи обрнуто. Ако је троугао ABC сличан троуглу XYZ, не морају бити подударни. А видимо и на овом примеру, да нису подударни. Дакле, ово је један начин размишљања о подударности. Други начин да размишљате о подударности јесте да су сви одговарајући углови једнаки. Значи, ако је нешто слично, онда ће сви одговарајући углови бити једнаки. одговарајући, одговарајући углови... Увек сам имао проблем са спеловањем овога. То је два R-а, 1 S. Одговарајући углови су подударни. подударни... Дакле, ако кажемо да је троугао ABC сличан троуглу XYZ, то је еквивалентно као да кажемо да је угао ABC подударан... или можемо рећи да су њихове мере једнаке... углу XYZ. углу XYZ. Да ће угао BAC бити подударан углу YXZ, углу YXZ И онда коначно, угао ACB ће бити подударан углу, углу XZY. XZY, углу XZY. Значи, ако имате два троугла, сви њихови углови су једнаки, онда можете рећи да су они слични. Или ако наиђете на два троугла и речено вам је са су то слични троуглови, онда знате да су сви њихови одговарајући углови једнаки. И последњи начин размишљања о томе је да су дужине страница пропорционалне међусобно. Дакле, странице су пропорционалне, са истим коефицијентом. пропорционалне са истим коефицијентом. У примеру који смо урадили овде, коефицијент пропорционалности је био 3. Он не мора да буде 3. Само мора бити исти за све странице. Ако помножимо ову страницу са 3 а ову страницу са 2, онда немамо посла са сличним троуглом. Али ако увећамо све ове странице 7 пута, онда је то и даље сличност, све док су све странице увећане или умањене множењем са истим коефицијентом. Дакле, један начин да размишљате о овоме је... још увек желимо да скицирамо ове троуглове. Дозволите ми да их прецртам овде мало једноставије. Пошто не говорим сада о општем случају, чак ни о том специфичном. Дакле, ако кажемо да је ово А, В и С, а ово овде Х, У и Z. Управо сам их прецртао тако да их могу повезивати када их запишемо овде. Ако кажемо да су ове две ствари овде сличне, то значи да су одговарајуће странице пропорционалне међусобно. Дакле, могли бисмо рећи да је дужина странице АВ једнака неки пропорционални чинилац... а то би могао бити број мањи од 1... неки коефицијент пута дужина ХУ, одговарајућа страница. А знам да је АВ одговарајућа за ХУ услед редоследа који сам користио у писању овог тврђења сличности. Значи, неки коефицијент пропорције пута XY. Знамо да дужина ВС треба да буде тај исти коефицијент, исти коефицијент пропорције пута дужина УZ. пута дужина УZ, исти коефицијент пропорције. А затим знамо да ће дужина странице АС бити једнака производу истог коефицијента и ХZ. Дакле то је ХZ, а ово би могао бити коефицијент пропорције. Значи, ако је АВС веће од ХУZ, онда ће ово к бити веће од 1. Ако су они потпуно исте величине, ако су они потпуно подударни троуглови, онда ће ово к бити 1. А ако је ХУZ већи од АВС, онда ће овај коефицијент пропорције бити мањи од 1. А други начин да запишемо ово исто тврђење... приметите, све што хоћу да кажем јесте да су одговарајуће странице међусобно пропорционалне. Ово прво тврђење овде, ако поделите обе стране са ХZ, добијете АВ кроз ХУ је једнако са нашим коефицијентом пропорције. А онда, друго тврђење, баш овде, ако поделите обе стране са УZ... дајте да урадим то истом бојом... добијете ВС подељено са УZ је једнако са тим коефицијентом пропорције. И запамтите, у примеру који смо управо приказали, тај коефицијент је био 3. А сада, ако причамо користећи опште појмове, сличност постоји докле год имате исти коефицијент пропорције. И онда коначно, ако поделите обе стране овде са дужином између Х и Z, или дужином дужи ХZ, добијете АС кроз ХZ је једнако са к, такође. Или други начин да размишљате о томе јесте да је то размера одговарајућих страница. Приметите, ово је размера између АВ и ХY. Размера између ВС и УZ, ВС и УZ, размера између AC и XZ, AC и XZ, то је размера одговарајућих страница све нам даје исти број. Или можете преписати ово као АВ кроз ХУ је једнако са ВС кроз УZ је једнако са АС кроз ХZ, што ће бити једнако са истим пропорционалним коефицијентом, који је једнак са к. Дакле, ако имате сличне троуглове... дозволите ми да нацртам једну стрелицу овде. Сличност троуглова подразумева да су они пропорционална верзија, и да можете такође да их окрећете и ротирате и све оно што можете и код подударности. И можете да их увећавате, или смањујете. Што значи да су сви одговарајући углови подударни, што такође значи да ће размера између одговарајућих страница бити једнака константа за све одговарајуће странице. Или размера између одговарајућих страница је константна.