Лепота алгебре

... Пре него што дођемо до саме сржи алгебре, желео сам да вам дам савет од једног од највећег умова у човековој историји, Галилео Галилеја, пошто мислим да ова изрека осликава прави смисао алгебре и праве математике, у суштини. Она каже, "Филозофија је записана у великим књигама које су нам заувек пред очима... мислим универзуму... али не можемо их разумети ако прво не научимо језик и смисао симбола којима су записане. Ова књига је записана математичким језиком, без кога читалац узалудно лута у мраку лавиринта." Дакле, веома драматично, али веома дубоко. А ово је заиста смисао математике. А оно што ћемо видети када почнемо залазити све дубље унутар алгебре јесте да ћемо почети апстраковати ствари, и почећемо стицати саму срж идеје да почетка објашњавања како је свемир саздан. Наравно, ове идеје могу бити примењене на ствари као што је економија и финансије и физика и хемија. Али у суштини, оне све представљају исту идеју и због тога оне су фундаменталније, строжије, од сваке од ових примена. А да разумете шта мислим под тим долазећи до саме сржи идеје, почнимо са...Погађам да смо почели са веома грандиозном филозофијом свемира, записаном у математици...али почнимо са веома конкретном, једноставном идејом. Али задржаћемо апстрактност и видети како се дата идеја повезује преко многих домена у нашем свемиру. Дакле, рецимо да смо у радњи и да ћемо купити нешто. А тамо је распродаја. Распродаја каже да је снижење за 30%, и ја сам заинтересован. Не стајем у превише фенси радњама. Па, рецимо да сам заинтересован за пар панталона. А пар панталона пре распродаје је стајао 20$. И питање је колико сам потрошио на те панталоне? Значи, заинтересован сам за пар панталона од 20$. Али чак је и боље, снижење је 30% за ове панталоне. Па, како ћу израчунати колико ћу добити снижење на тих 20$? И ово још увек није алгебра. Ово је нешто чему сте вероватно били изложени. Помножићете 30% пута 20$. Дакле, рећи ћете да је ваш рачун једнак са...можете записати то као 30% пута 20$. Записаћу 20$ љубичастом бојом. Или бисте могли записати то, да желите да запишете ово у децимално запису, могли бисте записати ово као 0,30 пута 20$ И ако примените математику, добићете 6$. Дакле, ништа ново ту. Али шта ако желим да уопштим то малчице? То је снижење за овај овде пар панталона. Али шта да сам желео да знам снижење за било шта у овој продавници? Па, тада могу рећи, добро, хајде да х буде цена...дајте да запишем ово у другој боји. Дакле, само ћу начинити симбол. Допустите да х буде цена производа који желим да купим, цена без снижења производа у радњи. Дакле, сада, одједном, можемо рећи да је наша цена једнака са 30% пута х. ... Или да смо желели да запишемо то као децимални број, да смо желели да запишемо 30% као децимални број, могли бисмо записати 0,30 пута х. Сада, ово је интересантно. сада ми дате цену било ког производа у овој радњи, и ја је заменим са х. И онда могу заправо помножити 0,3 пута то, и добићу снижење.. Дакле, сада почињемо да, веома споро, почињемо да улазимо у апстракцију алгебре. И видећемо да ће ово постати много финије и дубље и, искрено, још дивније како почињемо да студирамо све више и више алгебарских идеја. Али још увек нисмо завршили. Можемо учинити ово још апстрактнијим. Овде, рекли смо да смо уопштили ово за сваки производ. Нисмо рекли само за овај производ од 20$. Ако је ту производ од 10$, можемо ставити тај производ од 10$ овде за х. И онда бисмо рекли 0,30 пута 10, и овај рачун би био 3$. То може бити производ од 100$, тада би овај рачун износио 30$. Али хајде да још више уопштимо. Рецимо, па, колики је рачун за сваку дату распродају када је распродаја одређени проценат. Дакле, сада можемо рећи да је тај рачун... допустите да дефинишем променљиву. Дакле, хајде да m буде једнако...или ћу рећи р само да буде смислено. р је једнако са проценат. ... Сада, шта можемо учинити? Па, сада ми можемо рећи да је рачун једнак са процентима. У овим другим примерима, узимали смо 30%. Али сада можемо рећи да је р. То је колико процената. То је р. То је број процената пута производ у постављеном питању, пута цена, ванрачунска цена производа у питању. Добро, то је било х. Рачун је једнак са р пута х. Сада, ово је веома интересантно. Даље, уопштен начин за рачунање рачуна за сваку дати проценат и сваки дати производ х. И нисмо морали да користимо ове речи и ова слова. Могли бисмо рећи дозволимо да у буде једнако са рачуном. ... Тада бисмо могли записати исту идеју. Уместо записивања рачуна, можемо записати у је једнако са процентима р пута ванрачунска цена производа, пута х. И могли бисте дефинисати ова слова на који год начин желите. Уместо записивања тамо у, могли бисте записати грчко слово или бисте могли записати било који симбол ту. Док год можете пратити то, тај симбол представља актуелни доларски рачун. Али сада ствари постају веома занимљиве. Пошто можемо користити овај тип везе, који је једначина... изједначујете у са овим тачно овде, то је зашто то називамо једначином... ово може да се користи за ствари које су комплетно неповезане са ценом, рачунском ценом, у овој радњи. Тако, у физици, видећете да је снага једнака са масом пута убрзање. Слова су различита, али ово је фундаментално иста идеја. Могли бисмо имати у је једнако са снагом, а маса је једнака са р. Дакле, допустите ми да запишем р је једнако са масом. А ово не би био начин да дефинишемо то по интуицији, али желим да вам покажем да је ово иста идеја, иста веза, али примењена је на потпуно различите ствари. И можемо рећи да је х једнако са убрзањем. ... Па, онда позната снага је једнака са маса пута убрзање може бити преписано. И то је потпуно иста идеја као, у, што смо дефинисали као снагу, може бити једнако са масом, за коју ћемо користити слово р, која је једнака са р пута убрзање. И управо ћемо почети да користимо слово х овде, пута х. Па, ово је потпуно иста једначина. Ово је потпуно иста једначина. И можемо видети да можемо узети ову једначину, и можемо је применити на ствари у економији, или је применити на ствари у финансијама, или је можемо применити на ставри у рачунарској науци или логици, или електричном инжењерству, или било чему, рачуноводству. Постоји бесконачан број примена ове једне једначине. И оно што је фино у математици и што је фино у алгебри посебно јесте да можемо да се фокусирамо на апстракцију. Можемо се фокусирати на апстракцију овде, и можемо манипулисати апстракцијом овде. И оно што откривамо из ових идеја, из ових манипулација, може тада бити примењено на све ове примене, на све њих. И чак и финије, то је начин да сазнамо праву структуру свемира Ако бисте требали да уклоните све ове људске дефиниције и све њудско мешање. Тако на пример, можемо рећи, погледајте, ако је у једнако са р пута х...дакле, дословно, ако неко каже, хеј, ово је у, а неко каже, са друге стране, имам р пута х, могу рећи, добро, имате исту ствар са обе стране. А ако бисте требали да поделите једну страну са бројем, и ако сте желели да обе и даље буду једнаке поделили бисте другу страну са тим бројем. Дакле, на пример, знамо да је у једнако са р пута х. Па, шта да сам желео да имам обе стране једнаке? И ви кажете, добро, чему је у подељено са х једнако? Па, у је било једнако са р пута х, дакле, у подељено са х ће бити иста ствар као р пута х подељено са х. Али сада је ово интересантно. Пошто р подељено са х...па, ако помножите са нечим и онда поделите са тим истим, добићете ваш полазни број. Ако помножите са 5 и поделите са 5, почећете са р или колико год овај број био. Дакле, ово се поништава. Али ми смо у стању да манипулишемо апстракцијом овде и добијемо у кроз х је једнако са р...и дајте да запишем х у зеленој боји. ... А сада ово поседује примену за сваку од ових идеја. Једна нам говори фундаменталну истину о свемиру скоро лишену сваке од ових примена. Али сада идемо даље и враћамо их на место примене. И веома занимљива ствар је да ћемо пронаћи бесконачан број примена и не морамо чак знати, искрено, већину њих. Открићемо нове у хиљадама година. И надам се да вам ово даје осећај зашто је Галилејо рекао оно што је рекао о томе да је математика заиста језик којим можемо разумети филозофију свемира. И то је зашто нам људи кажу да ако било који ванземаљски живот икада контактирају људе, математичари би вероватно били први, на месту на које можемо почети од основе да комуницирамо.