Увод у експоненцијални пад

Оно шта ћемо урадити у овом снимку јесте брзинско понављање експоненцијалног раста и онда коришћење тога као нашу платформу за упознавање са експоненцијалним опадањем. Дакле, поновимо експоненцијални раст. Рецимо да имамо нешто што, и ставићу ово у табелу овде. Повуците то право. Дакле, рецимо да је ово наше х а ово је наше у. Сада, рецимо да када је х једнако нула, у је једнако три. И сваки пут када увећамо х за 1, дуплирамо у. Значи, у ће ићи од три до шест. Ако увећамо х поново за један, тако да буде два, у ћемо поново дуплирати. И онда, шест пута два је 12. Ово овде је експоненцијални раст. А можете чак и ставити негативне иксеве. Када је х негативан број, па, ако х враћамо за један, ми бисмо поделили са два. Значи ово ће бити 3/2. 3/2. И приметите, ако идете од минус један до нула, ви још једном, настављате множење са два а ово ће наставити да се дешава. И можете описати ово једном једначином. Могли бисте рећи да је у једнако, и понекад људи могу ово звати вашим пресеком са у-осом или вашом иницијалном вредношћу, је једнако три, у суштини шта се дешава када је х једнако нула, је једнако три пута наш количник, а наш количник је па, са колико множимо сваки пут када увећамо х за један? Дакле, три пута наш количник, два, на на х, на х-ти степен. И можете проверити то. Изаберите било који од ових. Када је х једнако два, то ће бити три пута два на квадрат, што је три пута четири, што је заиста једнако 12. И можемо видети то на графику. Дакле, дајте да нацртам на брзину график тачно овде. Па, имам проблем са цртањем праве линије. У реду, ту смо. И да видимо. Можемо ићи, и они ће бити на мало другачијој скали, моје х и у осе. Дакле, ово је х-оса, у-оса. И идемо од минус један до један до два. Да видимо, идемо на горе све до 12. Па да видимо, ово је три, шест, девет, и рецимо да је ово 12. Можемо уцртати ове овде тачке. Када је х минус један, у је 3/2. Значи, делује тако да када је у једнако нули, х је, када је х нула, у је три. Када је х једнако један, у је дуплирано. То је сада шест. Када је х једнако два, у је 12. И видећете ову криву у наговештају. И онда, постоји неколико кључних особина које имамо. Па, већ смо причали о неколико њих, али ако идете са увећавањем негативних х вредности, ви ћете се бесконачно приближавати х-оси. Никада неће у потпуности достићи нулу како стижете до све већих и већих негативних вредности, али ће се дефинитивно приближити њој. А како стижете до све већих позитивних вредности, она скаче на горе. Ми увек, причали смо о томе у претходним снимцима како ће ово престићи било коју линеарну функцију или било који график линеарне функције, да тако кажемо. Сада, упоредимо то са експоненцијалним опадањем. Експоненцијално, експоненцијално опадање. Један једноставан начин да посматрамо то, уместо раста сваки пут када увећате х, ви ћете опасти за одређени износ. Ви ћете опасти. Дакле, начинимо другу табелу овде са х и у вредностима. То је било заиста, веома, ово је требало да, када притиснем шифт, требало је да формира праву линију, али мој рачунар, јео сам близу мог рачунара. Можда постоје мрве у тастатури или нешто. У реду. Дакле, идемо одавде. Имамо х и имамо у. И онда почнимо са, рецимо да почнемо на истом месту. Дакле, када је х нула, у је 3. Али уместо дуплирања сваки пут када увећамо х за један, пређимо половину сваки пут кад увећамо х за један. Значи, када је х једнако један, помножићемо са 1/2, и онда ћемо стићи до 3/2. Затим када је х једнако два, помножићемо поново са 1/2 и тако ћемо достићи 3/4 и тако даље. А када бисмо прешли на негативне вреднсоти, када је х једнако минус један, па, да идемо, ако идемо уназад по х за један, ми бисмо поделили са 1/2, и онда бисмо стигли до шест. Или идући од минус један до нула, како увећамо х за један, још једном, множимо множимо са 1/2. И онда како бисмо записали ово као једначину? Охрабрујем вас да паузирате снимак и проверите да ли можете записати то на сличан начин. Па, то ће изгледати некако овако. То ће бити у је једнако... Имате ваше, можете имати ваш пресек са у-осом овде, вредност од у када је х једнако нула, па, то је три пута, колико је сада наш количник? Па, сваки пут када х увећамо за један, множимо са 1/2 дакле, 1/2 и подићи ћемо то на х-ти степен. И дакле, приметите, ове су обе експоненцијалне. Имамо неки, можете рећи пресек са у-осом или иницијалну вредност, она се множи са неким количником на степен х. Неки количник на степен х. Али приметите када повећавате наш количник и то заправо испада као опште правило, када повећавате ваш количник, апсолутна вредност од вашег количника ће бити већа од један. Допустите ми да запишем то. Значи, апсолутна вредност од два у овом случају је веће од један. Али када смањујете, апсолутна вредност од тога је мања од један. И то има смисла, пошто ако, ако имате нешто где је апсолутна вредност мања од један, попут 1/2 или 3/4 или 0,9, сваки пут множите то, добићете све нижу вредност. И можете заправо видети то на графику. Скицирајмо график ових овде истих информација. И допустите ми да урадим то другом бојом. Урадићу то плавом бојом. Дакле, када је х једнако минус један, у је једнако шест. Када је х једнако нула, у је једнако три. Када је х једнако један, у је једнако 3/2. Када је х једнако два, у је једнако 3/4. И тако даље. И приметите, пошто су наши количници реципрочне вредности један другом, тада ова два графика изгледају као преврнути, изгледају као да су преврнути хоризонтално или преврнути преко у осе. Они су симетрични око те у-осе. И шта ћете видети код експоненцијално опадајуће је да те функције постају све мање и мање, али никада не стижу скроз до нуле. Оне се приближавају нули. Она ће се асимптотски приближавати х-оси како х постаје све већи позитивни број. Само за експоненцијални раст, ако х постаје све више негативан број ми се асимптотски приближавамо х-оси. Дакле, то је представљање. Употребићу веома специфичан пример, али уопштено, ако имате једначину у облику у је једнако А пута неки количник на х-ти степен ми га можемо записати тако, само да учинимо то малчице јаснијим. Постоји гомила различитих начина на које можемо записати то. Ово ће бити експоненцијалан раст, тако да ако је апсолутна вредност од r већа од један, тада имамо посла са растом, пошто сваки пут множите, сваки пут кад увећате х, множите са све већим r је један начин да посматрате то. А ако је апсолутна вредност од r мања од један, имате посла са опадањем. Опадате како х расте. И допустићу вам да размислите шта се дешава када, шта се дешава када је r једнако један? Са чиме имамо посла у таквој ситуацији? А то је делом трик питање, пошто је то заправо сасвим, ох, рећи ћу вам. Ако је r једнако један, па онда, ова функција тачно овде ће увек бити једнака један и сводите се на константну једначину, у је једнако А, тако да ће ово бити хоризонтална права.