Описни проблеми са експоненцијалним растом и падом

... Решимо неколико текстуалних проблема који се тичу експоненцијалног раста и опадања. Дакле, овај први задатак, претпоставимо да се радиоактивна супстанца распада по стопи од 3,5% по часу. Који проценат супстанце преостане након 6 часова? Па, начинимо малу табелу овде, само да замислимо шта се дешава. И онда ћемо покушати да изведемо формулу за, уопштено, колико је преостало након n часова. Па, рецимо, сати који су прошли и проценти који су остали. Проценти који су остали. Значи, након 0 часова, колико процената је преостало? Па, још није опало, тако да имамо 100% преостало. Након 1 часа, шта се десило? То опада по стопи од 3,5% по часу. Дакле, 3,5% је нестало. Или други начин да размишљамо о томе је 0,965. Запамтите, ако узмете 1 минус 3,5% или ако узмете 100% минус 3,5%...ово је колико губимо сваки сат... то је једнако 96,5%. Дакле, сваки сат ћемо имати 96,5% од претходног сата. Значи, за 1 сат, имаћемо 96,5% од сата 0, или 0,965 пута 100, пута сат 0. Даље, шта се дешава код 2 сата? 2 сата. Па, имаћемо 96,5% од претходног сата. Изгубићемо 3,5%, што значи да имамо 96,5% од претходног сата. Дакле то ће бити пута ово, пута 0,965 пута 100. Мислим да увиђате куда ово води, уопштено. Дакле, у првом сату, имамо 0,965 на први степен пута 100. У нултом сату имамо 0,965 на нулти степен. Не видимо то, али 1 је тамо, пута 100. У другом сату, 0,965 на други степен, пута 100. Значи, уопштено, у n-том сату... допустите да запишем ово у финој пуној боји... у n-том сату, имаћемо 0,965 на n-ти степен, пута 100 остане од наше радиоактивне супстанце. А често ћете видети то записано овако. Имате вашу иницијалну вредност пута ваш количник, 0,965 на n-ти степен. Ово је колико ће вам остати након n часова. Па, сада можемо одговорити на питање. Након 6 часова колико ће нам остати? Па, имаћемо 100 ута 0,965 на шести степен преостало. И можемо употребити калкулатор да одредимо колико је то. Употребимо наш калкулатор од поверења. Значи, имамо 100 пута 0,965 на шести степен, што је једнако 80,75. Ово је све у процентима. Значи, то је 80,75% од наше полазне супстанце. Значи, то је 80,75% Решимо још један овакав. Дакле, имамо, Нађа поседује ланац ресторана брзе хране који је пословао са 200 радњи у 1999, у 1999. Ако је стопа повећања... ох, заправо, има грешка овде, то треба да буде 8%... стопа увећања је 8% годишње, са колико радњи ресторан послује у 2007-ој? Па, размислимо о истој ствари. Дакле, рецимо године након 1999. И разговарајмо о томе са колико радњи Нађа послује, њен ланац брзе хране. Значи, 1999 сама по себи је нулта година након 1999. И она послује са 200 радњи. Затим у 2000-тој, која је прва година након 1999., са колико ће пословати? Па, она се шири по стопи од 8% годишње. Дакле, она ће оперисати са свим радњама које је имала раније плус 8% од радњи које је имала раније. Значи, 1,08 пута број радњи које је поседовала раније. И видећете, количник је овде 1,08. Ако се увећавате за 8%, то је еквивалентно са множењем са 1,08. Дозволите ми да разјасним то. 200 плус 0,08 пута 200. Па, ово је само 1 пута 200 плус 0,08, пута 200. То је 1,08 пута 200. затим у 2001-ој, шта се дешава? Ово је сада 2 године након 1999. и ви ћете имати раст од 8% од овог броја. Помножићете 1,08 са тим бројем, пута 1,08 пута 200. Мислим да добијате суштину. Ако, после n година након 1999., то ће бити 1,08... дозволите да запишем овако. То ће бити 200 пута 1,08 на n-ти степен. Након 2 године, 1,08 на квадрат. 1 година, 1,08 на први степен. 0 година, ово је исто као 1 пута 200, што је 1,08 на нулти степен. Дакле, они нас питају, са колико радњи ресторан послује у 2007-ој? Па, 2007 је 8 година после 1999. Значи, овде је n једнако 8. Па, дозволите нам да заменимо n са 8. Одговор на наше питање ће бити 200 пута 1,08 на осми степен. Извадимо наш калкулатор и израчунајмо то. Значи, желимо да одредимо 200 пута 1,08 на осми степен. Она ће пословати са 370 ресторана, и биће у процесу отварања још неколико. Значи, ако заокружимо то на нижу вредност, она ће оперисати са 370 ресторана. Дакле, 8% раст можда не делује као нешто тоико брзо или толико узбудљиво. Али након декаде, у само 8 година, она би довела свој ланац ресторана од 200 до 370 ресторана. Значи, након 8 година, видите да се раст садржаја од 8% заправо завршава прилично драматично. ...