Увод у експоненцијалне функције

... У овом снимку, желим да вам представим идеју експоненцијалне функције и заиста вам покажем колико брзо оне могу расти. Дакле, запишимо овде једну експоненцијалну функцију. Дакле, рецимо да имамо у је једнако са 3 на х. Приметите, ово није х на трећи степен, ово је 3 на степен х. Наша независна променљива х је дати изложилац. Па, сачинимо табелу овде, да видимо како брзо ствари могу расти, а можда ћемо то и скицирати графички. Дакле, узмимо овде неке х вредности. Почнимо са х је једнако са минус 4. Затим прелазимо на минус 3, минус 2, 0, 1, 2, 3 и 4. И одредимо колике ће у вредности бити за сваку од ових х вредности. Сада, овде, у ће бити 3 на минус четврти степен, што је једнако са 1 кроз 3 на четврти степен. 3 на трећи је 27 пута 3 поново је 81. Значи, ово је једнако са 1/81. Када је х једнако са минус 3, у је 3. Записаћемо ово дугачијом бојом. Ову боју је тешко прочитати. у је 3 на минус трећи степен. Па, то је 1 кроз 3 на трећи степен, што је једнако са 1/27. Дакле, идемо од супер малог броја до мање супер малог броја. И онда 3 на минус други степен ће бити 1/9, тачно? 1 кроз 3 на квадрат и онда имамо 3 на нулти степен што је једнако само 1. Дакле, постајемо мало већи, мало већи, али видећете да ћемо експлодирати. Сада, имамо 3 на први степен. То је једнако са 3. Значи, имамо 3 на други степен, тачно? у је једнако са 3 на други степен. То је 9. 3 на трећи степен је 27. 3 на четвти степен је 81. Да смо ставили пети степен, 243. Скицирајмо ово графички, само да бисмо добили идеју како брзо експлодирамо. Допустите ми да нацртам моје осе овде. ... Дакле, то је моја х-оса а то је моја у-оса. ... И дозволите ми да ставим подеоке на 5, пошто заиста желим да стекнем увид у општи график овде. Па, дозволите ми да нацртам што правилнију праву могу. Рецимо да је ово 5, 10, 15. Заправо, нећу стићи до 81 на тај начин. Нећу стићи до 81. Па, то је довољно добро. Дозволите ми да нацртам малчице другачије него што сам нацртао. Дакле, дајте да нацртам то овде пошто све ове вредности можете приметити су позитивне вредности пошто имам позитивну основу. Па, дајте да нацртам то овако. ... Довољно добро. И онда, рецимо да имам 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. То је 80 тачно овде. То је 10. То је 30. То ће бити добро за апроксимирање. И онда, рецимо, да је ово минус 5. Ово је плус 5 тачно овде. И заправо, дајте да продужим +то малчице више. Рецимо да је ово минус 1, минус 2м минус 3, минус 4. Затим имамо 1, 2, 3 и 4. Онда, када је х једнако са 0, ми смо на 1, тачно? Када је х једнако 0, у је једнако 1, што је тачно негде овде. Када је х једнако са 1, у је једнако са 3, што је тачно негде овде. Када је х једнако са 2, у је једнако са 9, што је тачно негде овде. Када је х једнако са 3, у је једнако са 27, што је тачно негде тамо. Када је х једнако са 4, у је једнако са 81. Видећете убрзо ће ово експлодирати. Да сам узео 5, ишли бисмо на 243, што не би чак ни стало на екран. Када идете на минус 1, постајемо све мањи. Тако, код минус 1, ми смо на 1/9. На крају крајева, нећете чак ни видети ово. То ће постати све ближе нули. Како ово узима све веће бројеве или бих, погађам, требао рећи све мање негативне бројеве, тако да је 3 на минус хуљаду, 3 на минус милион, добијамо бројеве све ближе нули без да икада постану нула. Значи, како идемо од минус бесконачно, х је једнако са минус бесконачно, постајемо веома бликски нули, полако се удаљвамо нашим путем од нуле, али онда бум! Једном када почнемо бити позитивни бројеви, једноставно експлодирамо. Једноставно експлодирамо и настављамо експлодирати по јендој заувек растућој стопи. Значи, идеја овде је да вам покажем да су експоненцијалне функције заиста, заиста драматичне. Добро, увек можете конструисати брже растућу функцију. На пример, могли бисте рећи да је у једнако са х на х, чак брже растућа, али ван оних са којима имамо посла свакодневно у животу, ово је једна од најбржих. Такод а са тим датим решимо неке текстуалне задатке који нам дају претпоставку за експоненцијалне функције. Тако, рецимо да неко пошаље ланчано писмо у првој недељи. У првој недељи, неко пошаље ланчано писмо 10 људи. А ланчано писмо каже да морате сада послати ово ланчано писмо ка још 10 нових људи а ако не, имаћете лошу срећу, и ваша коса ће отпасти и оженићете жабу или нешто друго. Дакле, сви ови људи се слажу и они ће сви послати то ка 10 људи у следећој недељи. Значи, у другој недељи, они иду и свако пошаље то ка још 10 људи. Значи, свако од полазних 10 људи шаље још 10 писама више. Значи, сада 100 људи има писмо, тачно? Свако од ових 10 пошаље 10, тако да је то 100 писама послатих. ... 10 је послато. Овде је 100 послато. У трећој недељи, шта ће се десити? Свако од ових 100 људи ко је добио ово једно, свако од љих ће послати 10, претпостављајући да је свако заиста у ланчаним писмима. Дакле, 1000 људи ће их добити. И тако, општи образац овде је да људи који приме писмо, дакле, у недељи n где је n недеља о којој говоримо колико људи прими писмо? У недељи n имамо 10 на n-ти људи који су примили... i пре е изузев с... писмо. Дакле, ако вас неко пита, колико људи су добили писмо у шестој недељи? ... Колико људи ће заиста примити то писмо? Па, колико је 10 на шести степен? 10 на шести степен је једнако са 1 са шест нула, што је 1 милион људи ће добити то писмо у само шест недеља, ако свако шаље по 10. И очигледно, у стварном свету, већина људи баци ово у смеће, тако да немате ово за тачан износ. Али ако јесу, ако свако од 10 људи пошаље пошаље то ка 10 људи и тако даље, за шест недеља имали бисте милион људи. А за девет недеља, имали бисте билион људи. А искрено, недељу након те, понестало би вам људи. Видимос е у следећем снимку. ...