Одузимање полинома и затворени скуп

Задато нам је да одузмемо минус два х на квадрат плус четири х минус један од шест х на квадрат плус три х минус девет, и као и увек, охрабрујем вас да паузирате снимак и проверите да ли можете изаћи на крај са тим. У реду, сада, пређимо ово заједно. Дакле, требао бих ово записати као шест х на квадрат плус три х минус девет минус, минус овај израз тачно овде, значи, ставићу то у заграде, минус минус два х на квадрат, минус два на квадрат плус четири х минус један. Сада, шта можемо урадити одавде? Па, можемо унети овај минус у заграду, можемо унети овај минус у заграду, и онда ако смо урадили тако, добили бисмо шест х на квадрат плус три х минус девет што би остало непромењено тако да то још увек имамо. Шест х на квадрат плус три минус девет, али ако унесем минус у заграду, минус од минус два х на квадрат је плус два х на квадрат. Значи, то ће бити плус два... Узмимо малчице више места. Плус два х на квадрат и онда одузимање, а онда минус од плус четири х је... Одузећу четири х сада, а онда минус од минус један, или супротно од минус један ће бити плус један. Дакле, управо сам унео минус у заграду, а сада могу сабрати мономе који имају исте степене од х... Мономи истог степена, погађам да бисте могли рећи, значи, имам моном х на квадрат, овде је то шест х на квадрат, овде имам два х на квадрат, тако да могу сабрати ова два, шест х на квадрат плус два х на квадрат. Ако имам шест х на квадрат и онда имам још два х на квадрат, колико иксева на квадрат сада имам? Сада имам осам х на квадрат, осам х на квадрат, или шест х на квадрат плус два х на квадрат. Сабирамо коефицијенте, шест и два дају осам, осам х на квадрат. Затим можемо сабрати х мономе. Могли бисте посматрати ово као мономе првог степена, три х... Имамо три х и онда имамо минус четири х, значи, три х минус четири х, ако имам три нечега и одузмем четири тога, сада ћу имати минус један тога, или бисте могли рећи да ће коефицијент три минус четири бити минус један. Дакле, имам сада минус један х. Могао бих записати то као минус један х, али можда бих такође могао то записати као минус х. То је исто као минус један х. И онда коначно, могу прећи на константе. Одузимам девет и онда додајем један. Значи, могли бисте рећи, "Добро, колико је минус девет плус један?" Па, то ће бити минус осам. То ће бити минус осам и све смо завршили. А једна ствар која вам може бити интересантна је да сам имао полином овде и да сам од њега одузео други полином, и приметите, добио сам полином, а ово ће заправо увек бити случај. Ако размишљате о скупу полинома, ако размишљате о скупу... Дозволите да запишем ово у неутралној боји. Значи, ако размишљамо о скупу свих полинома тачно овде, и ако узмете један полином, који можете замислити као овај магента полином. Значи, ово овде је полином, назовимо ово р од х. Дакле, ово је р од х тачно овде, р од х, и онда имате други полином, овај тачно овде, назовимо ово, не знам, зовемо ово q од х, q од х, само за уживање. Значи, то је q од х, само тако. И ако примените... У овом случају, применили смо операцију одузмања. Ако применимо одузимање... Дакле, узимате ова два, узимате ова два... Дајте да видим како бих ово добро приказао. Значи, узимамо р од х и одузимате од тога q од х. Па, још увек добијамо полином, тако да ће нам то дати... Остајемо у скупу полинома. Кад год имате скуп ствари, и морате бити више навикнути да говорите о овом у термину целих бројева, или скупа бројева, али можете говорити о овом уопштено. Овде говоримо о скупу полинома, а видели смо да ако почнемо од два полинома, два члана скупа полинома... Допустите да будем јасан, ово је полином, полином, управо овде. Узимате два члана скупа и примењујете операцију одузимања, још увек ћете добити члан скупа. А када имате ситуацију попут ове, могао бих назвати ово, не знам, понестаје ми слова. Па, дајте да назовем овај f од х, значи, добили смо овде f од х. Када имате ову ситуацију где узимате два члана скупа, примењујете операцију на њих, или узимате одређени број чланова скупа, примењујете операцију на њих, и још увек добијате члан скупа, рекли бисмо да је скуп затворен за ту операцију. Дакле, можемо рећи да је скуп полинома, скуп полинома, полинома затворен, затворен... Нећу чак ни ставити то под наводнике. Затворен за, за одузимање. Нисам то доказао овде, само сам урадио један пример где одузимам два полинима а добијам трећи, а постоје јасно строжији докази које можете урадити. Али ово јесте заправо случај, док год имате два полинома, примењујете одузимање, добићете трећи полином. А леп начин да кажемо да је овај скуп полинома затворен за одузимање. Овај појам затварања понекад делује попут ове веома забавне математичке идеје, али није превише забавна. Само узимате два члана скупа, примењујете операцију, ако још увек добијете члан скупа након те операције, тада је тај скуп затворен за ту операцију.