Више примера специјалних производа

Сада ћемо урадити гомилу примера који представљају два најчећа типа множења полинома које ћете видети, дефинитивно, у алгебри. Први је само квадрирање бинома. Ако имам (х+9) на квадрат, знам да долазите у искушење да кажете да је ово х на квадрат плус 9 на квадрат. Али ћу ја рећи да није тако. Морате да одолите сваком искушењу да урадите то. То није х на квадрат плус 9 на квадрат. Запамтите, (х+9) на квадрат је једнако (х+9), пута (х+9). Ово је множење овог бинома самим собом. Потребно је да, увек, имате на уму. Веома вас вуче да помислите да је ово само х на квадрат плус 9 на квадрат, али није, морате то да проширите. Када смо то проширили, можемо искористити неке вештине које смо научили у прошлом видеу да бисмо то помножили. Да бих вам показао да то можемо да урадимо на начин на који смо помножили триноме, прошлог пута, помножићемо (х+9) са х плус љубичаста деветка. Урадио сам то да бих вам показао множење ове деветке против овог х. Хајде то да урадимо. Идемо, 9 пута 9 је 81. Ставите то на место за константе. 9 пута х је 9х. Онда имамо... замените овај х сабирак... имамо жуто х. х пута 9 је 9х. Поставите на место првог степена. х пута х је х на квадрат. х на квадрат. Сабирамо све. Добијамо х на квадрат плус 18х плус 81. Ово је једнако х на квадрат плус 18х плус 81. Можете овде видети део шаблона, па ћу вам ја направити да га видите целог. Када квадрирате бином, шта се дешава? Имате х на квадрат. Имате овај х пута овај х, даје вам х на квадрат. Имате 9 пута 9, што је 81. Имате овај сабирак, који је 18х. Како смо добили ових 18х? Па, помножили смо овај х са 9 и добили 9х, а онда смо помножили ових 9 са х и добили других 9х. Онда смо сабрали та два и добили 18х. Уопштено, када имате бином на квадрат... урадићу на овај начин. Урадићу на уопштен начин. Рецимо да имам а плус b на квадрат. а плус b на квадрат. Измножићу их на овај начин, поново, да бих вам то приближио. Ово је једнако а плус b, пута а плус... написаћу зелено b овде. Имамо b пута b је b на квадрат. Претпоставимо да је ово константни сабирак. Ставићу б на квадрат тамо. Претпостављам да је ово константа. Ово ће бити константа, то ће бити као наших 81. а је а променљива... променићу то да изгледа још боље. Претворићу то у х плус b на квадрат, претпостављајући да је b константа. То ће бити х плус b пута х плус зелено b, овде. Претпостављајући да су b константе, b пута b је b на квадрат. b пута х је bх. Написаћемо љубичасто х. x пута b је bx. х пута х је х на квадрат. Када саберете све, остаје вам х на квадрат плус 2bх, плус b на квадрат. Оно што видите је, крајњи производ, који имате када имате х плус b на квадрат, је х на квадрат, плус 2 пута производ х и b, плус b на кваадрат. Дат вам је шаблон, хајде да урадимо још неке од ових. Урадићу на бржи начин. (3х-7) на квадрат. Запамтите шта сам вам рекао. Не морате да запамтите, у подсвести знате зашто то има смисла. Ако сам ово измножио, искористите правило дистрибутивности два пута, знаћете да ћете добити исти одговор. Ово ће бити једнако (3х) на квадрат, плус 2 пута 3х, пута -7. У реду? Знамо да је то 2 пута сваки производ ових сабирака, плус (-7) на квадрат. Ако искористимо ово правило, (3х) на квадрат је исто што и 9х на квадрат. Овде, имаћете 2 пута 3, што је 6, пута -7, што је -42х. А (-7) на квадрат је 49. То је био бржи начин. Да се побринем да не радим нешто чудно, урадићу и полако за вас. 3х-7 пута 3х-7. -7 пута -7 је +49. -7 пута 3х је -21х. 3х пута -7 је -21х. 3х пута 3х је 9х на квадрат. Померите мало у лево. Сабверите све. Остаје вам 9х на квадрат, минус 42х, плус 49. Стварно смо добили исти одговор. Урадимо још један, на бржи начин. Ако имамо 8х минус 3... у ствари, урадићу неки који има више променљивих у себи. Рецимо да имамо 4х на квадрат плус у на квадрат, и желимо то да квадрирамо. Па, иста идеја. Ово ће бити једнако овом сабирку на квадрат, (4х) на квадрат, на квадрат, плус 2 пута исти производ оба сабирка, 2 пута 4х на квадрат пута у на квадрат, плус у на квадрат, овај сабирак, на квадрат. Чему ће то бити једнако. Ово ће бити једнако са 16... у реду, 4 на квадрат је 16... х на квадрат,на квадрат, то је 2 пута 2, то је х на четврти степен. Онда, плус 2 пута 4 пута 1, то је 8х на квадрат, у на квадрат. И онда у на квадрат, па на квадрат је у на четврти. Радили смо квадрирање бинома. Следећи пример који желим да вам покажем је када узмем производ збира и разлике. Ово је, у ствари, нешто дивно. Урадићу на уопштен начин за вас. Урадићемо а плус b, пута а минус b. Чему ће то бити једнако? Ово ће бити једнако а пута а... написаћу ово у различитим бојама... дакле, а минус b, баш тако. То ће бити ово зелено пута ово љубичасто а, а пута а, плус, или ћу рећи минус, зелено а пута ово b. Добио сам минус одавде. Имаћемо зелено b, плус зелено b пута љубичасто а. Множим сваки са сваким сабирком. Коначно, минус зелено b... одатле минус долази... минус зелено b пута љубичасто b. Чему ће ово бити једнако? Биће једнако а на квадрат, а ово је -аb. Ово могу да препишем као +аb, и онда имамо минус b на квадрат. Ово овде се потире, -аb, +аb, остаје вам а на квадрат минус b на квадрат. Што је јако леп резултат јер поједностављује ствари. Искористимо тај запис да урадимо нека множења. Ако кажемо 2х минус 1, пута 2х плус 1. То је исто. 2х плус 1, можете гледати на то, ако желите, као на а плус b и 2х минус 1, можете да посматрате као а минус b, где је ово а, а ово b је 1. Ово је b. Ово је a. Искористићемо шаблон који смо научили сада. Чему ће ово бити једнако? Ово ће бити а на квадрат, биће (2х) на квадрат, минус b на квадрат, минус 1 на квадрат. (2х) на квадрат је 4х на квадрат. 1 на квадрат је 1, дакле минус 1. Ово ће бити 4х на квадрат минус 1. Урадимо још један сличан, да бисте потврдили знање. Фокусираћу се на множење, сада. Ако имамо 5а-2b и множим то са 5а+2b. Запамтите, ово се примењује када имам производ збира и разлике. Тада, једино, могу то да користим. Показао сам вам зашто. Ако и даље сумњате, поједноставите то. Биће вам потребно мало више времена. Видећете да се ови сабирци потиру. Не можете ово да урадите код било каквог множења бинома. Видели сте, раније у видеу, да када смо множили, када смо квадрирали. Ово ће бити, користећи шаблон, биће (5а) на квадрат минус (2b) на квадрат, што је једнако 25а на квадрат минус 4b на квадрат. Оставићу то тако, видимо се у наредном видеу.