Урађени пример: рачунање израза помоћу структуре

Урадићу неколико класичних проблема који се често појављују на математичким такмичењима, а понекад и на стандардним тестовима, који изгледају прилично обесхрабрујуће и застрашујуће, али се надам да ћете током овог снимка схватити да, ако уочите шта се заправо од вас тражи, они и нису толико страшни. Хајде да пробамо прво овај управо овде. Кажу нам да је а а + а + b a + b + a + b + c a + b + c = a + b + c = 7 и онда нас питају, колико је 5а 5a + 5a + 5 5a + 5b 5a + 5b + 5a + 5b + 5 5a + 5b + 5c једнако? Прва реакција је нешто као: "Чекајте, управо сте ми дали једну једначину овде, једну једначину са три непознате, како то да решим по a, b или c? Зар не би требало да решим по a, b или c, да бих могао да закључим колико је 5a + 5b + 5c?" Па, пустићу вас да размислите о томе на тренутак. Дакле, главна цака овде је та да се уочи да је 5a + 5b + 5c потпуно исто што и 5 5( 5(a 5(a + 5(a + b 5(a + b + 5(a + b + c) Ако овде распоредите 5 5 пута a 5 пута b 5 пута c добијате 5a + 5b + 5c, Још један начин на који мочете да размишљате је да извучемо 5 испред заграде. Ако извучете 5 испред, остаје вам 5(a + b + c). Е сада, како ћемо да одредимо вредност овога? Па, прва једначина нам је дала све информације које су нам потребне. Рекли су нам да је a + b + c једнако 7. a + b + c a + b + c = 7 па је 5(a + b + c) потпуно иста ствар, и мислим да видите где нас то води сада, је 5( је 5(7) је 5(7) , и сада ово постаје прилично јасно да ће то бити једнако 35. Хајде да урадимо још један од ових, и овај ће бити мало захтевнији, али надам се да ћете видети да је потпуно иста идеја. Дакле, речено нам је a a + a + b a + b + a + b + c a + b + c је једнако -1. И имамо још две променљиве овде, речено нам је да је х речено нам је да је х + у речено нам је да је х + у једнако 7 и онда нам траже ову велику чупаву ствар, чему је она једнака? И даћу вам неколико секунди да мало размислите. Дакле, замислите, дате су вам три променљиве са једном једначином овде горе и још две променљиве са још једном једначином, имамо 5 променљивих са две једначине, не постоји начин којим ћемо бити у могућности да закључимо шта појединачно a a или a или b a или b или a или b или c a или b или c или a или b или c или x a или b или c или x или a или b или c или x или y a или b или c или x или y представља али можда можемо да применимо оно што смо видели у последњем примеру да би ово решили. И оно што би сигурно желели да урадимо је да је мало прегрупишемо тако да имамо х-еве и у-не груписане заједно и a-ове, b-ове и c-ове некако груписане заједно. Па, хајде да то покушамо. Хајде прво да посматрамо само a-ове, a-ове, b-ове a-ове, b-ове и a-ове, b-ове и c-ове. Па имамо -9a, -9b ... Ићи ћу по абецедном реду... -9b и -9c, и мислим да видите шта ће настати. А сада да порадимо на х-евима и у-има. Онда имамо -7х, и онда имамо -7у Значи, све што сам урадио је да сам прегруписао овај израз овде, али то ми, на неки начин, мало рашчишћава слику шта се овде дешава. Ова прва три члана, могу да извучем испред заграде -9, и добијам -9 и добијам -9 и добијам -9(a + и добијам -9(a + b и добијам -9(a + b + и добијам -9(a + b + c) а ова друга два члана, Могу да извучем испред заграде 7, -7 -7( -7(x -7(x + -7(x + y) и само да потврдимо, ако хоћете да идете другим путем, помножите ових -7 пута (x + y) и добићете ово Помножите -9 пута (a + b + c), (распоредите их) добићете управо ово овде. Значи, ово нам прави мало чистију ситуацију. Чему је (a + b + c) једнако? Па, кажу нам управо овде, a + b + c је једнако -1 овај цео израз је -1, бар овај у загради, а чему је (x + y) једнако? (Хајде да то урадим у новој боји) Чему је (x + y) једнако? Па, кажу нам управо овде,да је х + у једнако 7. Па се цела ова ствар поједностављује на - -9 -9( -9(- -9(-1) -9(-1) - -9(-1) - 7 -9(-1) - 7( -9(-1) - 7(7) и онда је ово једнако са... сада је ово циљна равнина - -9(-1), па, то је позитивних 9, и онда -7(7) је негативних 49 дакле, то је 9 - 49, што је једнако што је једнакоо што је једнакооо што је једнакоооо што је једнакоооо! негативних 40. И урадили смо.