Увод у груписање

... У овом снимку желим да се фокусирам на још неколико техника за растављање полинома на чиниоце. А посебно, желим да се фокусирам на квадратни трином који нема јединицу као водећи коефицијент. На пример, ако сам желео да раставим 4х на квадрат плус 25х минус 21. Све што смо до сада растављали на чиноце или све од квадратних тринома што смо растављали на чиноце су имали или један или минус један где ово 4 стоји. Све до сада, када имамо ово 4 овде. Дакле, оно што ћу вас научити јесте техника која се назива растављање на чиниоце груписањем. Малчице је компликаованије од оног што смо учили до сада али је фин трик. На неком ступњу, то постаје застарело једном када научите квадратну формулу, пошто искрено, квадратна формула је много једноставнија. А ово је како то иде. Показаћу вам технику. А онда на крају овог снимка, заправо ћу вам показати зашто она функционише. Дакле, оно што треба да урадимо овде јесте да треба да размислимо о два броја, а и b, где је а пута b једнако са 4 пута минус 21. Значи, а пута b ће бити једнако са 4 пута минус 21, што је једнако са минус 84. И та два иста броја, а плус b, треба да буде једнако са 25. Допустите ми да будем веома јасан. Ово је 25, дакле, њихов збир треба да буде једнак 25. Ово је место где је сада 4. Дакле, крећемо, 4 пута минус 21. То је минус 21. Дакле, која два броја су она која би испуњавала то? Па, треба да посматрамо чиниоце од минус 84. И још једном, један од ових ће требати да буде позитиван. Други треба да буде негативан пошто је њихов производ негативан. Дакле, размислимо о различитим чиниоцима који имају смисла. 4 и минус 21 изгледају робустно али када их саберете добијете минус 17. Или да сте имали минус 4 и 21, добили бисте плус 17. Нема смисла. Испробајмо неке друге комбинације. 1 и 84 превише удаљени када узмете њихову разлику. Пошто је то у суштини оно што ћете урадити када је један негативан а један позитиван. Превише удаљени. Да видимо, могли бисте узети 3... пуним меткове. 2 и 42. Још једном, превише удаљени. Минус 2 плус 42 је 40. 2 плус минус 42 је минус 40... превише удаљени. 3 и ... да видимо, 3 стаје у 84... 3 стаје у 8 два пута. 2 пута 3 је 6. 8 минус 6 је 2. Спуштамо 4. Стаје тачно 8 пута. Значи, 3 и 28. Ово постаје интересантно. ... И запамтите, један од њих мора да буде негативан. Тако да ако имамо минус 3 плус 28, то је једнако са 25. Даље, пронашли смо наша два броја. Али то неће бити тако једноставна операција као што смо радили када је ово било 1 или минус 1. Оно што ћемо урадити сада јесте да ћемо раставити овај терм управо овде. ... Раставићемо то на плус 28х минус 3х. Раставићемо тај терм. Тај терм је тај терм управо тамо. И наравно, имате минус 21 тамо, и имате ваших 4х на квадрат овде. Сада, можете рећи, како сте изабрали 28 овде, а минус три тамо. А то заправо није битно. Начин на који сам бирао 3 или минус 3 и 21 или минус 21, јесте то што имају заједнички чинилац. Посебно, имају чинилац 3 као заједнички. И 28 и 4 имају неке заједничке чиниоце. Дакле, груписао сам 28 са 4. И видећете ускоро на шта сам мислио. Ако дословно групишемо ово тако да тај терм постане 4х на квадрат лус 28х. А затим, ова страна, овде у пинк боји, то је плус минус 3х минус 21. Још једном, изабрао сма ово. Груписао сам минус 3 са 21 или минус 21, пошто су оба дељива са 3. И груписао сам 28 са 4 пошто су оба дељива са 4. А сада, у свакој од ових група, извучемо испред што више можемо. Значи, оба ова терма су дељиви са 4х. Дакле, овај терм у наранџастој боји је једнак са 4х пута х... 4х на квадрат подељено са 4х је само х... плус 28х подељно са 4х је само 7. Сада, овај други терм. Запамтите, извлачите испред заграде све што можете. Па, оба ова терма су дељиви са 3 или минус 3. Дакле, хајде да извучемо минус 3. И ово постаје х плус 7. А сада вам можда нешто пада на памет. Имамо х плус 7 пута 4х плус х плус 7 пута минус 3. Дакле, можемо извући х плус 7. Ово можда није у потпуности очигледно. Вероватно нисте навикли да извлачите цео бином. Али могли бисте помстрати ово као једно а. Или ако имате 4ха минус 3а, били бисте у стању да извучете једно а. И могу оставити ово само као један знак минус. ... Допустите ми да обришем ово плус управо овде. Пошто је то само минус 3, тачно? Плус минус 3, исто као минус 3. Дакле, шта можемо урадити овде? Имамо једно х плус 7, пута 4х. Имамо једно х плус 7, пута минус 3. Хајде да извучемох плус 7. Добијемо х плус 7 пута 4х минус 3. Минус то 3 тачно тамо. И раставили смо на чиниоце наш бином. Извините, раставили смо квадратни трином на чиниоце груписањем. А раставили смо га на два бинома. Урадимо други пример за то, пошто је малчице запетљано. Али једном када стекнете осећај постаће забавно. Дакле, рецимо да желимо да раставимо 6х плус 7х плус 1. Исти поступак. Желимо да пронађемо а пута b које је једнако са 1 пута 6, што је једнако са 6. И желимо да одредимо једно а плус b које треба д абуде једнако са 7. Ово је малчице више очигледно. Који су... добро, очигледно да су једни 1 и 6, тачно? 1 пута 6 је 6. 1 плус 6 је 7. Дакле, имамо а је једнако са 1. Или ми допустите да чак ни не напишем знаке. Бројеви овде су 1 и 6. Даље, желимо да раставимо ово на 1х и 6х. Али желимо да групишемо то тако да је на једној страни оно што дели исти чинилац. Дакле, имаћемо 6х на квадрат овде, плус... и дакле, ставићу прво 6х пошто 6 и 6 деле исти чинилац. А затим, имаћемо плус 1х, тачно? 6х плус 1х је једнако 7х. То је била цела поента. Њихов збир је требао да буде 7. А онда имамо на крају плус 1 тамо. Даље, у којој од ових група, можемо извући колико желимо. Дакле, у овој првој групи, хајде да извучемо 6х. Значи, ова прва група постаје 6х пута... 6х на квадрат подељено са 6х је само једно х. 6х подељено са 6х је само 1. А онда, друга група... имаћемо плус овде. Али ова друга група, дословно имамо х плус 1. Или бисмо могли чак записати 1 пута х плус 1. Могли бисте замислити управо сам извукао 1 да тако кажем. Сада, имам 6х пута х плус 1, плус 1 пута х плус 1. Па, могу извући х плус 1. Ако извучем једно х плус 1, то је једнако са х плус 1 пута 6х плус то 1. Само користим својство дистрибутивности у супротном смеру. Дакле, надам се да вам није толико лоше. А сада, заправо ћу објаснити зашто овај мали магични систем има смисла. ... Дозволите да узмем један пример. Урадићу то за општи случај. Рецимо да сам имао ах плус b пута сх... заправо, страхујем да употребим а или b. Мислим да вас то помало збуњује пошто користим а и b овде. То неће бити исте ствари. Дакле, дајте да употребим потпуно друга слова. Рецимо да имам fx плус g пута hx плус, употребићу ј уместо i. Научићете касније зашто избегавам да користим i као променљиву. Па, чему ће ово бити једнако? Па, то ће бити fx пута hx што даје fhx. А затим, fx пута j. Значи, плус fjx. И онда, имаћемо g пута hx. Дакле, плус ghx. А онда g пута j. Плус gj. Или, ако саберем ова два средишња терма, имате fh пута х, плус... саберете ова два терма... fj плус gh x. Плус gj. Сада, шта сам урадио овде? Па, запамтите, у свим овим задацима где имате коефицијент различит од 1 или минус 1 овде, два броја чији збир даје ово, чији производ је једнак производу то пута то. Добро, овде имамо два броја чији збир... рецимо да а је једнако са fj. ... То је а. А b је једнако са gh. Дакле, а плус b ће бити једнако са тим средишњим коефицијентом. ... А онда колико је b ? а пута је једнако са fj пута gh. ... Могли бисмо прегруписати ове термове. Множимо гомилу термова. Дакле, то би могло бити записано као f пута h пута g пута ј. Ово је све исто. Добро, колико је fh пута gj? Ово је једнако са fh пута gj. Добро, ово је једнако са први коефицијент пута константни терм. Дакле, а плус b ће бити једнако средишњем коефицијенту. А а пута b ће бити једнако први коефицијент пута константни терм. Дакле, то је зашто ово цело растављање груписањем има смисла или како можемо да одредимо колики су а и b. Сада, затварам са нечим мало другачијим, а само да се уверим да имате заокружено знање код растављања полинома. Оно што желим да урадим јесте да вас научим растављање малчице комплетније. А ово је мали додатак. Начинићу цео снимак овога. Али мислим, на неком ступњу, може постати очигледно за вас. Дакле, рецимо да смо имали... дајте да изаберем добар овде. Рецимо да смо имали минус х на трећи плус 17х на квадрат минус 70х. Сместа, кажете, да, ово није чак ни квадратни трином. Не знам како да решим нешто попут овог. Има једно х на трећи степен. И прва ставр коју треба да приметите је да је сваки терм овде дељив са х. Дакле, хајде да извучемо једно х. Или чак боље, хајде да извучемо минус х. Значи, ако извучете минус х, ово је једнако са минус х пута... минус х на трећи подељено са минус х што је х на квадарт. 17х на квадрат подељено са минус х је минус 17х. Минус 70х подељено са минус х је плус 70. Иксеви се поништавају. А сада, имате нешто што можда изгледа познато. Имамо стандардни квадратни трином где је водећи коефицијент 1. Само треба са пронађемо два броја чији је производ 70, а чији је збир минус 17. А бројеви који ми моментално падају на памет су минус 10 и минус 7. Узмете њихов производ, добијете 70. Саберете их добијете минус 17. Дакле, овај део овде ће бити х минус 10, пута х минус 7. И наравно, имате то водеће минус х. Општа идеја је да проверите да ли постоји нешто што се може извући. И то ће довести до облика који можете препознати. Надам се да вам је ово од користи. Желим да вам поновим оно што сма вам приказао на почетку овог снимка. Мислим да је то веома кул трик, тако да кажем, да сте у стању да раставите полином чији полазни коефицијент није један или минус један. Али у неком ступњу, открићете лакше начине да урадите ово, посебно са квадратном формулом, врло брзо.