Комплетирање квадрата

... У овом снимку ћу вам приказати технику која се назива комплетирање квадрата бинома. А оно што је згодно у вези овог је да ће ово функционисати за сваку квадратну једначину и то је у ствари основа за формулу квадрата бинома. А у следећем снимку или снимку након тог, доказаћу формулу квадрата бинома користећи комплетирање квадрата бинома. Али пре него што урадимо то, треба да разумемо о чему се ту ради. А то се у ствари састоји од онога што смо радили у прошлом снимку, где смо решили квадратне једначине користећи потпуне квадрате. Па, рецимо да имам квадратну једначину х на квадрат минус 4х је једнако 5. И ставио сам овај велики размак овде са разлогом. У последњем снимку, видели смо да ово може бити прилично једноставно за решавање ако је лева страна потпуни квадрат. Видите, комплетирање квадрата бинома се састоји од изградње квадратне једначине у потпуни квадрат, манипулисање њом, додавaњу и одузимању од обе стране тако да она постане потпуни квадрат. Па, како можемо урадити то? Значи, у циљу да ова лева страна буде потпуни квадрат, тамо мора бити неки број овде. Мора бити неки број овде који, ако имам мој број на квадрат добијем тај број и онда ако имам два пута мој број добијем минус 4. Запамтите то, а мислим да ће то постати јасно са неколико примера. Желим да х на квадрат минус 4х плус нешто буде једнако х минус а на квадрат. Још увек не знамо колико је а, али знамо неколико ствари. Када квадрирам тај број... дакле, ово ће бити х на квадрат минус 2а плус 1 на квадрат. Значи, ако погледате овај овде образац, то мора бити... извините, х на квадрат минус 2ах... ово баш овде мора бити 2ах. А ово овде би требало да буде а на квадрат. Значи, овај број, а, ће бити половина од минус 4, а мора бити минус 2, тачно? Пошто ће 2 пута а бити минус 4. а је минус 2, а ако је а минус 2, колико је а на квадрат? Па, тада ће а на квадрат бити плус 4. И ово сада може деловати компликовано за вас, али показујем вам образложење. Дословно, само погледате овај овде коефицијент, и кажете, у реду, па, колико је половина тог коефицијента? Па, половина тог коефицијента је минус 2. Дакле, можемо рећи а је једнако минус 2... иста идеја тамо... и онда квадрирате то. Квадрирате а, добијете плус 4. Значи, додајемо овде плус 4. Додајемо 4. Сада, почев од прве једначине коју смо икада решавали, требали бисте знати да никада не можете урадити нешто само једној страни једначине. Не можете додати 4 само једној страни једначине. Да је х на квадрат минус 4х било једнако 5, онда када додам 4 неће више бити једнако 5. То ће бити једнако 5 плус 4. Додали смо 4 левој страни пошто смо желели да ово буде потпуни квадрат. Али ако додате нешто левој страни, морате додати то и десној страни. А сада смо дошли до проблема који је идентичан проблему који смо решавали у претходном снимку. Шта је лева страна? Дозволите да препишем све. Имамо сада х на квадрат минус 4х плус 4 је једнако 9. Све што смо урадили је да смо додали 4 обема странама једначине. А додали смо 4 у сврху тога да ова лева страна постане потпуни квадрат. Сада, колико је ово? Који број када помножим са самим собом је једнак 4, а када га саберем са самим собом добијем минус 2? (грешка, треба -4) Па, већ смо одговорили на то питање. То је минус 2. Дакле, добили смо х минус 2 пута х минус 2 је једнако 9. Или бисмо могли прескочити овај корак и записати х минус 2 на квадрат је једнако 9. А затим узмете квадратни корен од обе стране, добијете х минус 2 је једнако плус, или минус 3. Додате 2 обема странама, добијете х је једнако 2 плус, или минус 3. То нам говори да х може бити једнако 2 плус 3, што је 5. Или би х могло бити једнако 2 минус 3, што је минус 1. И завршили смо. Сада желим да будем скроз јасан. Могли сте решити ово без комплетирања бинома квадрата. Могли смо почети са х на квадрат минус 4х је једнако 5. Могли смо одузети 5 од обе стране и добити х на квадрат минус 4х минус 5 је једнако 0. И ви можете рећи, хеј, ако имам минус 5 пута плус 1, тада је њихов производ минус 5 а њихов збир је минус 4. Дакле, могу рећи да је ово х минус 5 пута х плус 1 једнако 0. А онда бисмо рекли да је х једнако 5, или је х једнако минус 1. А у овом случају, ово би, заправо, вероватно био бржи начин да решимо проблем. Али оно што је згодно код комплетирања квадрата је да ће увек функционисати. Увек ће функционисати без обзира колики су коефицијенти, или без обзира колико је тежак проблем. Дозволите да вам докажем то. Решимо један који је традиционално био прилично шкакљив проблем ако би само покушали да га решимо растављањем, посебно ако би га решавали груписањем, или нешто слично. Рецимо да смо имали 10х на квадрат минус 30х минус 8 је једнако 0. Сада, од самог почетка, можете рећи, хеј, погледајте, можемо можда поделити обе стране са 2. То заиста малчице поједностављује. Поделимо обе стране са 2. Па, ако поделите све са 2, шта добијете? Добијемо 5х на квадрат минус 15х минус 4 је једнако 0. Али, још једном, сада имамо ово 5 као сметња испред овог коефицијента и требали бисмо да решимо то груписањем које је, разуме се, болан процес. Али сада можемо ићи право до комплетирања квадрата, а да урадимо то, сада ћу поделити са 5 да добијем 1 за водећи коефицијент овде. И видећете зашто је ово различито од онога што смо традиционално радили. Дакле, ако поделимо ово све са 5, могао сам само поделити са 10 од почетка али сам желео да идем прво овим кораком само да вам покажем да нам ово заиста неће дати много. Поделимо све са 5. Па, ако поделите све са 5, добијете х на квадрат минус 3х минус 4/5 је једнако 0. Онда, можете рећи, хеј, зашто смо икада примењивали растављање груписањем? Ако можемо увек поделити са овим водећим коефицијентом, можемо се ослободити тог. Можемо увек трансформисати ово у 1 или минус 1 ако поделимо са правим бројем. Али приметите, радећи то, ми добијемо ових шашавих 4/5 овде. Дакле, ово је супер тешко решити коришћењем растављања. Требали бисте рећи, која два броја када узмем производ је једнак минус 4/5? То је разломак а када узмем њихов збир, то је једнако минус 3? Ово је тежак проблем са растављањем. Ово је тешко решити растављањем. Дакле, најбоља ствар за урадити је коришћење комплетирања квадрата. Па, размислимо малчице о том како можемо трансформисати ово у потпуни квадрат. Оно шта волим да урадим... и видећете ово урађено на неке начине, а ја ћу вам показати оба начина пошто ћете видети да наставници користе оба... волим да добијем 4/5 на другој страни. Па, додајмо 4/5 обема странама ове једначине. Не морате да урадите то овако, али волим да се од 4/5 ослободим. А затим шта добијемо ако додамо 4/5 обема странама ове једначине? Лева страна једначине једноставно постаје х на квадрат минус 3х, не 4/5 тамо. Оставићу мало простора. И то ће бити једнако 4/5. Сада, управо као последњи проблем, желимо да претворимо ову леву страну у потпуни квадрат бинома. Како радимо то? Па, кажемо, добро, који број пута 2 је једнак минус 3? Па, неки број пута 2 је минус 3. Или ми у суштини само узмемо минус 3 и поделимо то са 2, што је минус 3/2. А затим квадрирамо минус 3/2. Значи у примеру ћемо рећи да је а минус 3/2. А ако квадрирамо минус 3/2, шта добијамо? Добијамо плус 9/4. Само узмем половину од овог коефицијента, квадрирам то, добијем плус 9/4. Сва поента тога је да претворим ову леву страну у потпуни квадрат. Сада, све што радимо једној страни једначине, морате урадити другој страни. Дакле, додали смо овде 9/4, додајмо 9/4 тамо. И каква наша једначина постаје? Добили смо х на квадрат минус 3х плус 9/4 је једнако... да видимо, ако можемо добити заједнички именилац. Значи 4/5 је исто што и 16/20. Само помножите бројилац и именилац са 4. Плус кроз 20. 9/4 је исто као када помножите бројилац са 5, као 45/20. И онда колико је 16 плус 45? Видите, ово је некако закукуљено, али у томе је поента, погађам, комплетирања квадрата понекад. 16 плус 45. Видите, то је 55, 61. Значи ово је једнако 61/20. Дакле, дозволите ми да препишем то. х на квадрат минус 3х плус 9/4 је једнако 61/20. Гломазан број. Сада ово, барем на левој страни, је потпуни квадрат. Ово је исто као х минус 3/2 на квадрат. А то је било због дизајна. Минус 3/2 пута минус 3/2 је плус 9/4. Минус 3/2 плус минус 3/2 је једнако минус 3. Значи ово квадрирано је једнако 61/20. Можемо узети квадратни корен од обе стране и добијемо х минус 3/2 је једнако плус или минус квадратни корен од 61/20. А сада можемо додати 3/2 обема странама ове једначине и добијете х је једнако плус 3/2 плус или минус квадратни корен од 61/20. И ово је компликован број и надам се да вам је очигледно да нећете бити у стању да... барем ја нисам у стању да... дођем до овог броја само растављањем. А ако желите њихове стварне вредности, можете извадити ваше калкулаторе, извадити ваше калкулаторе. А онда ми дајте да избришем све ово. Дозволите да изађем одавде и бришем овде. А 3/2... решимо прво верзију са плус. Значи желимо да решимо 3 подељено са 2 плус квадратни корен. Желимо да изаберемо тај малчице жути квадратни корен. Дакле, квадратни корен од 61 подељено са 20, што је 3,24. Ово чудно 3,2462, само ћу записати 3,246. Дакле, ово је приближно једнако 3,246, а то је само позитивна верзија. Хајде да узмемо верзију са минусом. Дакле, можемо заправо ставити наш улаз... ако решавате друго и онда улаз, тада желимо тај малчице жути улаз, то је зашто сам притиснуо друго дугме. Дакле, притиснем ентер, убаци се то што смо управо ставили, можемо променити плус или сабирање у одузимање и добијеш минус 0,246. Дакле, добијете 0,246. И можете, у ствари, проверити да ово задовољава нашу полазну једначину. Наша полазна једначина је била овде горе. Дајте да проверим за једну од њих. Дакле, рецимо, рецимо имамо... Значи други одговар на вашем графичком калкулатору је последњи одговор који користите. Значи, ако користите одговор са променљивом, то је овај број управо овде. Значи, ако имам свој одговор на квадрат... користим одговор представљен са минус 0,24. Одговор на квадрат минус 3 пута одговор, минус 4/5... 4 подељено са 5... то је једнако... И ово је само малчице објашњења. Ово не чува цео број, иде само до одређеног нивоа прецизности. Чува неки број цифара. Дакле, када то израчунамо то користи овај овде сачувани број, даје 1 пута 10 на минус 14. Дакле, то је 0,0000. Дакле, то су 13 нула и онда 1. Децимална запета, затим 13 нула и 1. Па, то је прилично много нула. Или заправо, ако добијете тачан одговор овде, идете до бесконачног нивоа прецизности, или можда, ако задржите то у овом облику рационалног броја, добићете да је то заиста једнако нули. Па, надам се да проналазите то корисним, сво ово помињање комплетирања квадрата. Сада ћемо проширити ово до праве квадратне формуле коју можемо користити, можемо заправо само убацити бројеве да решимо било коју квадратну једначину. ...