Описни проблеми са квадратним функцијама (канонски облик)

Неки објекат је лансиран са платформе. Његова висина у метрима, х секунди након лансирања је моделована са: h од х је једнако минус пет пута х минус четири на квадрат плус 180. Уобичајено, када говоре о секундама или времену, често ће употребити променљиву t, али можемо наставити са тим х за то. Размислимо о томе шта ће се дешавати овде. Допустите ми да вам дочарам то сликовито. Дозволите да нацртам једну h осу за вашу висину. Дозволите ми да нацртам једну х осу. Једну х-осу. У тренутку х је једнако нула. Ми смо на платформи, тако да ћемо већ имати неку висину. У тренутку х је једнако са нула. Навикао сам да говорим у тренутку t је једнако нула, али у тренутку х је једнако нула, ми смо већ на некој висини пошто се налазимо на некој платформи. А онда ћемо лансирати овај пројектил. И, он ће се кретати путањом у облику параболе, а то ће бити парабола окренута на доле. Можете рећи: "Сал, како знаш да ће то бити парабола окренута на доле?" Изгледаће некако тако. Нисам је нацртао скроз савршено, али схватате, надам се, поенту. Разлог зашто знам да је то била парабола, посебно, парабола отворена на доле, је када погледате шта се дешава овде. Ово је записано у канонском (теменском) облику, али то је квадратни трином. У канонском облику, имате израз са х на квадрат, и онда множите са минус пет управо овде. Ово нам говори да ће она бити отворена на доле. Ако бисте измножили ово, х минус четири на квадрат ће бити х на квадрат плус нешто друго плус нешто треће, затим ћете морати да помножите све те чланове са минус пет, ваш водећи члан ће бити минус пет х на квадрат. Још једном, то ће бити парабола отворена на доле која изгледа некако тако. Дакле, са датим овим сликовитим наговештајем који имамо, да видимо да ли можемо одговорити на нека питања о томе. Прво на које бих желео да одговорим јесте колико је висока платформа. Колико је висока платформа? Колико је висока платформа? Охрабрујем вас да паузирате снимак, и покушате да одредите то. Колика је та вредност тачно тамо? Па, као што можете видети, ми се налазимо на тој висини у тренутку х је једнако нула. Па, да одредимо колико је висока платформа, ми у суштини само треба да израчунамо h од нула. То ће бити минус пет пута минус четири на квадрат плус 180. Управо сам заменио х са нула. Минус четири на квадрат је 16. Минус пет пута 16 је минус 80. Плус 180. Значи ово ће бити једнако 100. Значи, платформа је висока 100 метара. Запамтите, висина је дата у метрима. Даље, следеће питање које имам, је, колико секунди након лансирања ћемо достићи нашу максималну висину? Па, наша максимална висина, ако говоримо о параболи окренутој на доле, ће бити у нашем темену, ће бити наша максимална висина. И онда, х вредност тога ће нам рећи колико дуго након пуштања, или колико дуго након лансирања, достижемо максималну висину. Покушавам да користим боју коју видите. Колика је ова х вредност управо овде? Још једном, паузирајте снимак, и проверите да ли можете одредити то. Покушавамо да одговоримо колико дуго након лансирања је максимална висина. Па, то ће бити х координата нашег темена. Како одређујемо то? Па, овај квадратни трином је већ записан у теменском облику, који звучи као да би требао бити лак за одређивање темена. Да проценимо то, треба да увидимо структуру овог израза, што је један начин да размишљамо о томе. Размислимо о томе шта се дешава. Имате ово 180. А затим овај други члан овде. Било шта на квадрат ће бити ненегативно. Значи, х минус четири на квадрат ће увек бити ненегативно. Али онда увек множите то са минус пет, тако да ће све ово бити непозитивно. Дакле, то никада не даје збир 180. Ваша максимална вредност се достиже када је овај члан управо овде једнак нула. А када ће овај члан бити једнак нула? У циљу да начинимо ваш члан једнаким нули, тада х минус четири треба да буде једнако нула. Једини начин да добијемо х минус четири да буде једнако нула је да х буде једнако четири. Само гледањем у ово, кажете: "Хеј, шта чини ово нулом?" Четворка. х је једнако четири ће ово учинити нулом. Ово је тачно тамо. Да сам записао h од четири, ово би било, овај члан би био нула, и остали бисте са 180. Ту сте, ово управо овде. Максимална висина је 180. То се дешава четири секунде након лансирања. Сада, последње питање које ћу поставити је, колико дуго након лансирања долазимо до висине нула? Дакле, које х чини нашу висину нулом? Да решимо то, треба да решимо h од х је једнако нула. Или можемо записати h од х као минус пет пута х минус четири на квадрат плус 180 је једнако нула. И, још једном, паузирајте снимак, и проверите да ли можете решити ово. Могли бисте одузети 180 од обе стране. Добијете минус пет пута х минус четири на квадрат, је једнако минус 180. Можемо поделити обе стране са минус пет. Добијемо х минус четири на квадрат је једнако 36. Скролујемо на доле, малчице. Затим, можемо узети, можемо узети плус и минус квадратни корен, погађам да бисте могли рећи. И тако ће нам то дати х минус четири може бити једнако шест. Или х минус четири је једнако минус шест. У овој првој ситуацији, додајете четири обема странама, добијете х је једнако 10. Или, додајете четири обема странама овде, добијате х је једнако минус два. Сада, овде имамо посла са временом, тако да би минус 2 било у прошлости ако то не би било на платформи и ако би то само наставило своју путању, погађам да бисте могли рећи, уназад временски. Али то није х које смо узели у разматрање. Желимо позитивну временску вредност а то је тачно овде. То је када је х једнако 10. 10 секунди након напуштања, наша висина ће бити једнака нули. Ако је земља на висини нула, ако је то ниво мора, погађам, тада, то је када ће наш пројектил погодити земљу.