Увод у рационалне и ирационалне бројеве

... Хајде да мало попричамо о рационалним... рационалним бројевима. Рационалним бројевима. А једноставан начин да мислимо о томе јесте да било који број који се може представити као однос... као однос два цела броја јесте рационалан број. Дакле, на пример, сваки цео број је рационалан број. 1 може бити приказано као 1/1, или минус 2 кроз минус 2 или као 10.000 / 10.000. У сваком од ових случајева, ово су све различити прикази броја 1, као однос два цела броја. И, очигледно је да може бити бесконачно много представљања броја 1 на овај начин. Исти број кроз исти број. Број... негативно 7 би могао бити приказан као минус 7/1, или 7 кроз минус 1, или негативно 14 кроз позитивно 2. И могу да наставим тако и даље и даље и даље. Дакле, минус 7 је дефинитивно рационалан број. Може да буде представљен као однос два цела броја. Али, шта са стварима које нису цео број? На пример, хајде да замислимо... хм, не знам... замислимо 3,75. Како могу да представим то као однос два цела броја? Па, 3,75 можете... можете то преписати као 375 кроз... кроз 100, што је иста ствар као и 750/200. Или, можете рећи: "Хеј, 3,75 је иста ствар као и 3 и 3/4." Као 3 и 3/4. Дајте да то напишем овде... 3 и 3/4. Што је исто као и... ово је 15/4. 4 пута 3 је 12, плус 3 је 15, па можете записати ово... Ово је исто као 15/4. Или, можемо записати ово као минус 30 кроз минус 8. Само сам помножио бројилац и именилац, овде, са минус 2. Али, да будем јасан, ово је очигледно рационалан број. Даћу вам више примера како ово може бити представљено као однос... као однос два цела броја. Сад, шта је са понављајућим децималним бројем? Па, хајде да узмемо можда најпознатији број са понављајућом децималом. Рецимо да имате 0,333, што се стално понавља, без краја, који можемо обележити стављањем оне цртице на врх тројке. Ово је 0,3 са понављањем. Видели смо... а касније ћемо показати како можете конвертовати било који понављајући децимални у рационални... као однос два цела броја... Ово је очигледно 1/3. Или, можда сте видели нешто као 0,6 са понављањем, што је 2/3. Има много, много, много других примера овога. И видећемо да било који понављајући децимални број, а не само они којима се понавља једна цифра, чак и да имате милион цифара које се понављају, докле год се шаблон понавља опет и опет и опет поново, ви увек можете да га представите као однос... као однос два цела броја. И знам шта вероватно мислите. "Хеј Сал, управо си укључио много тога. Укључио си све целе бројеве. Укључио си све децималне без понављања... односно, укључио си све коначне децималне без понављања. А такође си укључио и понављајуће децималне. Шта је остало? Да ли постоје бројеви који нису рационални?" А ви вероватно погађате да постоје, јер у супротном, људи се не би ни трудили да их назову рационалним. И испоставља се, као што сте могли да претпоставите, да у ствари неки од најпознатијих бројева у целој математици нису рационални. А ми зовемо те бројеве ирационалним... ирационалним... ирационалним бројевима. Ирационални бројеви, ирационални бројеви... И ја сам набројао овде само неколико од најпознатијих примера. Пи... однос између обима... однос између обима и пречника круга је ирационалан број. Никада се не завршава. Иде даље и даље без краја, и никад се не понавља. е, иста ствар... никада се не завршава, и никад се не понавља. Јавља се у рачуну камате на камату. Настао је из комплексне анализе, е се појављује на свим местима. Квадратни корен од 2 је ирационалан број. Фи, златни пресек, ирационални број. Дакле, оно што заиста искаче из природе, већина тога је ирационално. Е сад, можете рећи: "ОК, да ли је ово ирационално? Овде само имамо специјалну врсту бројева. Али, можда је већина бројева рационална, па је Сал само покупио неке специјалне случајеве овде." Но, важна ствар је, они изгледају егзотично, и јесу егзотични на неки начин. Али нису неуобичајени. Заправо, испоставља се да увек постоји један ирационални број између било која два рационална броја. Па, могли би да идемо даље, и даље. Заправо, постоји бесконачан број. Али увек постоји бар један, па вам то даје идеју да се не може заиста рећи да има мање ирационалних бројева него рационалних. А у будућим снимцима, доказаћемо да ако ми дате два рационална броја... рационални 1, рационални 2, рационални 2... биће најмање један ирационални број између њих, што је на неки начин уредно правило, пошто се чини да ирационални бројеви изгледају егзотично. Још један начин да размишљамо о овоме... Узео сам квадратни корен од 2, али можете узети било који несавршен квадрат, завршићете са једним ирационалним бројем. Имате суму једног ирационалног и једног рационалног броја... а видећемо то касније. Доказаћемо то. Сума једног ирационалног и једног рационалног броја биће ирационална. Производ једног ирационалног и рационалног броја ће бити ирационалан. Дакле, има много, много ирационалних бројева око нас.