Доказ: квадратни корени простих бројева су ирационални

... У претходним снимцима, употребили смо доказ по контрадикцији (противречности) да покажемо да је квадратни корен од 2 ирационалан. Шта желим да урадим у овом снимку јесте да употребим у суштини исти аргумент, али да урадим на уопштенији начин да покажем да је квадратни корен било којег простог броја ирационалан. Па, претпоставимо да је р прост. р је прост. И поставићемо ово да буде доказ противречности. Значи претпоставићемо да је квадратни корен од р рационалан и видети да ли нас ово води до неке противречности. Онда, ако је нешто рационално, то значи да можемо претставити то као разломак два цела броја. А ако нешто можемо претставити као разломак два цела броја, то значи да можемо такође представити то као разломак два узајамно проста цела броја, или два цела броја која немају заједничке чиниоце. Или да можемо представити то као разломак који је несводљив, као разломак који је несводљив. Дакле, претпостављам да је овај разломак који записујем овде, а/b, да је ово овде несводљив разломак. Кажете, добро, како могу урадити то? Па, ако је ово рационалан број говори да могу представити квадратни корен од р као неки разломак, као неки разломак два цела броја. А ако могу представити нешто као разломак два цела броја, могу наставити делити оба, бројилац и именилац са заједничким чиниоцима све док најзад не стигнем до несводљивог разломка. Дакле, претпостављам да је то случај овде где смо. Значи ово се не може скратити. И ово је важно за наш доказ... не може се скратити, што је други начин да кажемо да су а и b узајамно прости, што је други начин да кажемо да а и b не деле заједничке чиниоце различите од 1. Дакле, да видимо да ли можемо трансформисати ово малчице. Хајде да квадрирамо обе стране. Добијемо р је једнако ... па, а/b све на квадрат, то је исто као а на квадрат кроз b на квадрат. а на квадрат кроз b на квадрат. Можемо помножити обе стране са b на квадрат, и добијемо b на квадрат пута р је једнако а на квадрат. Добро, шта нам ово говори о а на квадрат? Па, b је цео број, тако да b на квадрат мора бити цео број. Дакле, цео број пута р је једнако а на квадрат. Па, то значи да р мора бити чинилац од а на квадрат. Допустите ми да запишем то. Значи, а на квадрат је садржилац од р. Сада, шта нам то говори о а? Да ли нам то говори да а такође мора бити садржалац од р? Па, да размислимо о том, размислимо о простим чиниоцима од а. Рецимо да а може бити... и сваки број... може бити преписан као производ простих бројева. Или било који цео број, требам рећи. Дакле, запишимо ово као производ простих бројева ових овде. Дакле, рецимо да имам мој први прост чинилац пута мој други прост чинилац, све до мог ентог простог чиниоца. Не знам колико простих чинилаца а заправо садржи. Само кажем да је а неки цео број овде. Тако да је то растављање броја а на просте чиниоце. Како ће изгледати растављање на просте чиниоце од а на квадрат? Па, а на квадрат је само а пута а. Његово растављање на просте чиниоце ће бити f1 пута f2, све до fn. А онда то пута f1 пута f2 пута, све до fn. Или бих могао променути редослед ако желим. f1 пута f1 пута f2 пута f2, све до fn пута fn. Сада, знамо да је а на квадрат садржиоц од р. р је прост број, тако да р мора бити један од ових бројева у факторисању. р може бити f2 или р може бити f1, али р треба да буде један од ових бројева у факторисању. Дакле, р треба да буде један од ових чинилаца. Па, ако је то, рецимо... и само ћу изабрати један од ових произвољно. Рецимо да је р једнако f2. Ако је р f2, тада то значи да је р такође чинилац од а. Дакле, ово нам дозвољава да закључимо да је а садржалац за р. Или, други начин да кажемо то је, да можемо представити, а можемо представити као неки цео број пута р, као неки цео број пута р. Сада, зашто је ово интересантно? И заправо, дајте да уоквирим ово, пошто ћемо овај део користити и касније. И како можемо употребити ово? Па, као што смо урадили у доказу квадратног корена од 2 да је ирационалан, сада заменимо ово назад у ову једначину овде. Дакле, добијемо b на квадрат пута р. Имамо b на квадрат пута р је једнако а на квадрат. Па, а, сада кажемо да можемо представити то као неки цео број к пута р. Значи сада можемо преписати то као неки цео број к пута р. пута р. И онда, да видимо, ако бисмо измножили ово. Дакле, добијемо b на квадрат пута р... и ви вероватно видите где ово води... је једнако к на квадрат пута р на квадрат. Можемо поделити обе стране са р и добијамо, добијемо b на квадрат је једнако р пута к на квадрат. Или к на квадрат пута р. к на квадрат пута р. Добро, исти аргумент који смо користили, да је а на квадрат једнако b на квадрат пута р, то нам говори да је а на квадрат садржалац од р. Тако да сада имамо то обрнуто. b на квадрат је једнако неком целом броју на квадрат, што ће још увек бити цео број, пута р. Значи, b на квадрат мора бити садржалац за р. Дакле, ово нам говори да је b на квадрат садржалац од р, од р. И истом логиком коју смо применили управо овде, то нам даје до знања да је b садржалац од р. b садржалац од р. И то је наша противречност, или ово утврђује нашу противречност коју смо претпоставили на почетку. Претпоставили смо да су а и b узајамно прости, да они не деле заједничке чиниоце различите од 1. Претпоставили смо да ово не може да се скрати. Алу управо смо установили, баш из овог, закључили смо да је а садржилац за р а b је садржалац за р. Што значи да овај разломак може да се скрати. Можемо поделити бројилац и именилац са р. Дакле, то је наша противречност.. Почели смо претпоставком да он не може да се скрати, али онда смо показали да напротив, мора да може да се скрати. Бројилац и именилац имају заједнички чинилац од р. Дакле, наша противречност је установљена. Квадратни корен од р не може бити рационалан. Квадратни корен од р је ирационалан. Дозволите да запишем то. Квадратни корен од р је ирационалан због противречности.