If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако сте иза веб филтера, молимо, побрините се да домени *.kastatic.org и *.kasandbox.org буду одблокирани.

Главни садржај
Текуће време:0:00Укупно трајање:5:33

Доказ: постоји ирационалан број између било која два рационална броја

Транскрипт снимка

... Оно што желим да урадим у овом снимку јесте да докажем да између свака два рационалан броја... дакле, рецимо да је то тамо рационалан број, и онда рецимо да је ово други рационалан број који је већи од овог управо овде, ... да између било која два рационална броја, можете пронаћи један ирационалан број, можете пронаћи један ирационалан број. Дакле, тај број тамо је ирационалан. Можете пронаћи барем један ирационалан број. И то је некако шашаво, јер постоји много рационалних бројева. Постоји бесконачан број рационалних бројева. Дакле, кажемо између било која два ова рационална броја, можете увек одредити ирационалан број. И почињемо да размишљамо о томе само разматрањем интервала између 0 и 1. Значи ако размишљмо о интервалу између 0 и 1, знамо да постоје ирационални бројеви тамо. Заправо, један од њих који вам може пасти на памет је 1 кроз квадратни корен од 2, који је исти као квадратни корен од 2 кроз 2, је једнако... требао бих рећи једнако, грубо, је приближно једнако 0,70710678118. И охрабрујем вас да наставите даље и даље и даље. Ово се не понавља. Али важна ствар је да је то, јасно је, између 0 и 1. Дакле, могао бих записати 1 кроз квадратни корен од 2 је, јасно је, измађу 0 и 1. Дакле, начин на који ћемо показати да постоји ирационалан број између било која два рационална броја је, почећу од подешавања ових неједнакости и транформисаћу их тако да завршим са једно r1 овде и једно r2 овде. И онда од 1 кроз квадратни корен од 2, Транформисаћу ово да конструишем тај ирационалан... барем један од ирационалних бројева који је између ова два рационалан броја. Дакле, уместо да узмем овај интервал између 0 и 1, узмимо овај интервал између 0 и разлике између ова два броја. Дакле, растојање између r1 и r2 је r2 минус r1. Па, помножимо обе стране овог... или сва три дела ове неједнакости, погађам да можете рећи са r2 пута r2 минус r1. Па, урадимо то. Па, ако помножите ово, 0 пута r2 минус r1, добро, имаћете још увек 0 тамо је мање од... И знамо да је r2 веће од r1, дакле, r2 минус... дозволите ми да разјасним шта радимо. Помножићемо све пута r2 минус r1. r2, претпостављамо је веће од r1, тако да ће ово овде бити веће од 0. Дакле, ако множите различите стране неједнакости са нечим већем од 0, не мењате неједнакост. Дакле, 0 пута то је 0, кроз квадратни корен од 2 пута, то ће бити 1 кроз квадратни корен од 2 пута r2 минус r1, минус r1. И онда ће то бити мање од... добро, 1 пута, то ће бити r2 минус r1, минус r1. И сада, само треба да померимо све поред. Дакле, хајде да додамо r1 свим странама овог. Па, ако додамо нешто свим деловима неједнакости, тада ће то такође неће променити неједнакост. Дакле, додаћемо r1 овде. Можемо додати r1 овде. И можемо додати r1 тамо. И онда, на левој страни, имамо r1 је мање од r1 плус... дозволите да копирам и пастујем све ово тако да не морам да наставим да мењам боје. Упс, то није оно шта сам желео да урадим. Дозволите да урадим ово. Ту сте. У реду. То треба да буде прилично добро. Дакле, копирате и пастујете то. r1 плус ово, плус то... дозволите да запишем плус... плус то је мање од... то је различита нијанса плаве... је мање од па, колико је r1 плус r2 минус r1? Па, то ће бити r2. Дакле, управо сам показао да сте ми дали било која два рационална броја и претпостављајући да је r2 мање од r1, треба само да конструишем ирационалан број који ће бити између ова два рационална броја. Узмете r1, узмете мањи од рационалних бројева, и томе додамо 1 кроз квадратни корен од 2 пута разлика између ова два рационална броја и добићете управо овде један ирационалан број. Кажете, хеј, како знамо да је ово, како могу бити сигуран да је ово ирационално? Па, већ смо видели. Узмете производ ирационалног и рационалног броја, добијете ирационалан број. Узмете збир ирационалног броја и рационалног броја, добијете ирационалан број. Дакле, конструисали смо ирационалан број који је између ова два рационална. ...