Доказ: производ рационалног и ирационалног броја је ирационалан

Оно што желим да урадим у овом снимку јесте брзински доказ да, ако узмемо рационалан број и помножимо га са ирационалним бројем да ће нам ово дати ирационалан број. И охрабрујем вас да паузирате снимак и покушате да размислите да ли ово можете доказати сами. И даћу вам наговештај. Можете доказати то путем контрадикције. Претпоставите да ће вам производ рационалног броја и ирационалног броја дати рационалан број, и онда проверите трансформацијом тога да ли можете установити да одједном овај ирационалан број мора некако да буде рационалан. Дакле, претпостављам да сте то покушали. Па, размислимо о томе малчице. Рекао сам да ћемо то решити контрадикцијом. Па, претпоставимо да производ рационалног и ирационалног броја даје рационалан број. Даје рационалан број. Дакле, рецимо да је ово... да представимо овај рационалан број управо овде, хајде да га представимо као разломак два цела броја, а кроз b. А затим овај ирационалан број, зваћу га х. Значи, кажемо а/b пута х може да нам да неки рационалан број. Па, назовимо га m/n. Назовимо ово једнако m/n. Дакле, претпостављам да рационалан број који може бити изражен као разломак два цела броја, помножен ирационалним бројем може да ми да рационалан број. Па да видимо да ли можемо поставити неки облик контрадикције овде. Решимо по ирационалном броју. Најбољи начин да решимо је да помножимо обе стране са реципрочном вредношћу овог овде броја. Значи ово, помножимо са b/a, пута b/a. И шта нам остаје? Добијемо наш ирационалан број х да је једнак m пута b. Или, можемо то записати као mb/na. Па, зашто је ово интересантно? Па, m је цео број, b је цео број, тако да је овај цео бројилац цео број. А затим овај цео именилац јесте неки цео број. Дакле, овде, имам разломак два цела броја. Значи, управо сам изразио оно шта смо претпоставили да је ирационалан број, управо сам изразио то као разломак два цела броја. Дакле, сада имамо да х мора бити рационалан. И то је наша контрадикција, пошто смо претпоставили да је х ирационалан. И онда због тога, пошто ова претпоставка води до ове контрадикције управо овде, ова претпоставка мора бити погрешна. Мора бити да је производ рационалног и ирационалног броја ирационалан број. Производ рационалног и ирационалног је ирационалан.