Доказ: збир рационалног и ирационалног броја је ирационалан

Па, ја сам радознао шта би се десило ако бих узео рационалан број и додао му један ирационалан број. И додао му један ирационалан број. Да ли би резултујући број био рационалан, или ирационалан? Добро, да бисмо размислили о томе, хајде само да претпоставимо да ће то бити рационалан број и онда видимо да ли то води ка било каквом облику противречности. Дакле, хајде да претпоставимо да ће нам ово дати рационалан број. Па, рецимо да овај први рационални број можемо представити као разломак два цела броја, а и b. Назовимо овај ирационални број, назовимо га x. А њихов збир даје нам други рационалан број. Добро, изразимо то као разломак два друга цела броја, m и n. Дакле, рекли смо да је а/b плус x једнако m/n. Једнако је m/n. Добро, други начин размишљања о томе - можемо одузети a/b од обе стране и добили бисмо наш ирационални број x је једнако m/n минус a/b, што је исто као n пута b у имениоцу. n пута b у имениоцу. А онда, погледајмо. m/n је иста ствар као mb кроз nb. Дакле, то ће бити mb. Сабирам само ова два разломка. mb минус... Погледајмо. a/b је исто као n пута а кроз n пута b. Дакле, минус n пута а. Минус n пута а. Све што сам урадио је да сам сабрао ова два разломка- Нашао сам заједнички садржалац. Па, да бих ово појаснио, множио сам ово једно b и b, а затим сам помножио ово једно n и n, затим сам само додао ове две ствари, и добио овај израз, управо овде. Па, овај именилац је очигледно цео број. Има производ два цела броја. То ће бити цео број. То ће бити цео број. А, затим, бројилац, mb, је цео број. na је цео број. Разлика два цела броја. Ово цело ће бити цео број. Ово цело ће бити цео број. Дакле, ово личи, да је збир рационални број, ово све, ми изненада имамо противречност. Ми смо претпоставили да је x ирационалан број, претпоставили смо да је x ирационалан, али, одједном, пошто смо то претпоставили, могли смо да претпоставимо да то можемо представити као разломак два цела броја. Па ово нам говори да x мора бити рационално. Мора бити рационално. И то је противречност. Ово овде је веома велика противречност. Претпоставка је била да је ово x ирационално. Сад добијамо да x мора бити рационално. Па, стога, ово не може бити случај. Рационалан плус ирационалан мора... но, ово није добро... рационалан плус ирационалан мора бити ирациналан. Дозволите ми да напишем то доле. Дакле, рационалан број плус ирациоаналан мора бити ирационалан број.