Урађени пример: рационални насупрот ирационалним изразима (непознате)

Допустићемо да а и b буду рационални бројеви и дозволите да b буде не-нула, морају рећи да је b не-нула пошто ћемо делити са b. Да ли је а кроз b рационалан, или ирационалан? Добро, размислимо о томе, они су оба рационална броја тако да то значи да а, пошто је рационалан, може бити изражен као разломак два цела броја, тако да могу записати а је једнако m кроз n и иста ствар са b, могу записати b као једнако p кроз q, где где су m, n, p, и q цели бројеви, су цели бројеви, по дефиницији шта је рационалан број, кажу нам да ови бројеви рационални тако да их могу изразити као овај тип разломака. Онда, колико ће бити а кроз b? а кроз b ће бити m кроз n кроз p кроз q што је једнако m кроз n, ако делим са разломком то је исто као множење реципрочном вредношћу. q кроз p, дозволите ми да запишем то малчице, q кроз p што је једнако mq кроз np. Па, mq ће бити цео број, ако је производ два цела броја цео број, а np други цео број, производ два цела броја је цео број, дакле, управо сам показао да а кроз b може бити изражено као разломак два цела броја, значи, а кроз b је сигурно, заправо управо сам вам то показао, а кроз b ће сигурно бити рационалан. Урадимо још неколико оваквих, ово је интересантно. У реду, дакле, сада кажемо дозволите да а и b буду ирационални бројеви. а кроз b, дозволите да а и b буду ирационални бројеви. Да ли је а кроз b рационалан, или ирационалан? И, као и увек, паузирајте снимак и покушајте да размислите о овом, и можда желите да урадите неке примере неких ирационалних бројева и видите да ли можете добити, када их поделите, да ли можете добити рационалне или ирационалне бројева. Добро, замислимо свет где, рецимо, да је а једнако, не знам, два квадратна корена од два, а b је једнако квадратни корен од два. Па, у том свету, а кроз b, а кроз b би било два квадратна корена од два кроз квадратни корен од два што би било два, што је веома рационалн број, могу изразити то као разломак целих бројева, могу записати то као два кроз један, постоји заправо бесконачан број начина на које могу изразити то као разломак два цела броја. Дакле, у овом слуају сам био у стању да добијем а кроз b рационалан, на основу а и b који су ирационални. Али, шта ако, шта ако уместо, шта да је а било једнако квадратном корену од два, а b је једнако квадратном корену од, рецимо, b је једнако квадратном корену од седам? Добро, тада би а кроз b било једнако квадратном корену од два кроз квадратни корен од седам, што ће још увек бити ирационалан број, мислим други начин да размишљамо о томе, и не доказујем то овде, али могу размишљати о томе, ово ће бити квадратни корен од две седмине, тако да имамо нешто што није потпуни квадрат под кореном, тако да ћемо завршити са ирационалним бројем. Дакле, можемо показати пример где је а кроз b рационалан и показали смо један пример где је то ирационалан, тако да то може бити обоје. Урадимо још неколико оваквих. У реду, допустите да а буде не-нула рационалан број. Да ли је а пута квадратни корен од осам рационалан, или ирационалан? Па, кључно је овде, ако множите ирационалан број и зашто је ово ирационалан број? 8 садржи потпуни квадрат у себи, али није потпуни квадрат сам по себи. Квадратни корен од осам је, квадратни корен од осам је једнак квадратном корену од четири пута два, што је једнако квадратном корену од четири пута квадратни корен од два, што је једнако два квадратна корена од два. И, ово доводи до сржи овог проблема, а ако помножимо рациоаналн број са ирационалним, добићу ирационалан број. Значи, квадратни корен од осам је ирационалан и ако помножим то са рационалним бројем још увек ћу добити ирационалан број. Дакле, ово ће бити, наравно, ирационалан број. Урадимо још неколико ових. Дакле, допустићемо да а буде ирационалан број. Да ли је минус 24 плус а рационалан, или ирационалан? И нећу пружити овде формалан доказ, али да вам дам више од интуитивног осећаја, лепо је испробати неке бројеве и охрабрујем вас да паузирате снимак и покушате да размислите о томе сами. Замислимо неке вредности, замислите да је а ирационалан а је ирационалан, онда шта ако је а једнако минус пи, што је приближно једнако минус три запета један четири пет девет и то се наставља даље и даље до бесконачно, никад се не понављајући. Па, тада бисмо имали минус 24 плус а би било једнако минус 24 минус пи, што би било приближно минус 27 запета један пет девет, и тако даље, све десно од запете ће бити потпуно исто као пи. Дакле, ово делује, барем за овај пример, да ће бити ирационалан, и да видимо, да је а било квадратни корен од два минус 24 плус квадратни корен од два, па, још једном, не радим доказ овде, али интуитивно, ово ће бити децимални број, децимале иду у бесконачно и никад се не понављају, и онда, ово би променило шта је лево од децималне запете, али не мења шта је, па, промениће шта је десно од запете пошто је ово минус, али још увек се наставља до бесконачно и никад не понавља, а ако, заправо, да је ово било да је ово било на овај начин, тада десно од запете бисте имали исто као квадратни корен од два лево од запете бисте имали различите вредности, имали бисте минус 25 запета шта год, шта год, шта год, и онда ово је, када додате рационалан број ирационалном броју, доказали сте у другим снимцима, рационалан плус ирационалан ће бити ирационалан, ирационалан број. Ако желите доказ тога, имамо друге снимке са објашњењем овог.