Доказ: збир и производ два рационална броја је рационалан

Шта желим да урадим у овом снимку јесте да размислим о томе да ли ће производ, или збир рационалних бројева дефинитивно бити рационалан број. Па, прво размислимо о производу рационалних бројева. Дакле, ако имам један рационалан број и... заправо, дозволите ми уместо записивања речи рационалан, дајте да представим то као разломак два цела броја. Значи, имам један рационалан број управо тамо. Могу га представити као а/b. И помножићу то са другим рационалним бројем, и могу представити то као разломак два цела броја, m и n. И онда, колики ће овај производ бити? Па, бројилац, имаћу аm. Имаћу а пута m. А у имениоцу, имаћу b пута n. b пута n. Па, а је цео број, m је цео број. Значи имате цео број у бројиоцу. И b је цео број и n је цео број. Дакле, имате цео број у имениоцу. Значи сада је производ разломак два цела броја, управо овде, дакле, производ је такође рационалан. Дакле, ово је такође рационалан број. Значи, ако ми дате производ било која два рационална броја завршићете са рационалним бројем. Да видимо да ли је исто тачно за збир два рационална броја. Па, рецимо да је мој први рационалан број a/b, или може бити представљен као a/b, а мој други рационалан број може бити представљен као m/n. Па, како могу сабрати ова два броја? Па, могу одредити заједнички именилац, а најлакши је b пута n. Па, дозволите ми да помножим овај раломак. Множимо ово са n у бројиоцу и n у имениоцу. И дозволите ми да помножим овај са b у бројиоцу и b у имениоцу. Сада смо их записали тако да имају заједнички именилац од bn. И онда, ово ће бити једнако аn плус bm, плус bm, па све то кроз, па све то кроз b пута n. b пута n. Значи b пута n, управо смо говорили о томе. Ово ће дефинитивно бити цео број, управо овде. А затим шта имамо овде горе? Па, имамо а пута n, што је цео број. b пута m је други цео број. Збир два цела броја ће бити цео број. Дакле, имамо цео број кроз цео број. Имате разломак два цела броја. Збир два рационална броја ће вам дати још један рационалан број. Дакле, ово овде су били рационални бројеви, и ово овде је рационалан број. Значи, узмете производ два рационалан броја, добијете рационалан број. Узмете збир два рационална броја, добијете рационалан број.