Збир и производ ирационалних бројева

Рецимо да имамо неки број а и њему ћемо додати неки број b и онда ће тај збир бити једнак с. Рецимо да нам је, такође, речено да су оба а и b ирационални. Ирационални бројеви. Па, на основу информација које сам вам дао, а и b су оба ирационална. Да ли је њихов збир, с, да ли ће бити рационалан, или ирационалан? Охрабрујем вас да паузирате снимак и покушате да одговорите то сами. Погађам да сте се борили са овим малчице пошто је одговор да заправо, не знамо. То зависи који су, заправо, ирационални бројеви а и b Шта мислим под тим? Па, бирам два ирационална броја где ће њихов збир бити рационалан. На шта мислим? Па, шта ако је а једнако пи а b је једнако један минус пи? Сада су оба ирационални бројеви . Пи је ирационалан и један минус пи, која год вредност ово била, ово је такође ирационалан број. И ако саберемо ова два израза, ако саберемо пи плус један минус пи, један минус пи, па ово ће дати збир једнак један, што ће, јасно је, бити рационалан број. Дакле, у стању смо да пронађемо један сценарио у ком смо сабрали два ирационалан броја и збир нам даје рационалан број. Уопштено, можете урадити овај трик са било којим ирационалним бројем. Уместо пи, могли сте имати квадратни корен од два плус један минус квадратни корен од два. Оба ова, оно што имамо у овој наранџастој боји је ирационалан број, оно што имамо у овој плавој боји је ирационалан број, а збир ће бити рационалан број. И можете урадити ово, уместо да имате један минус, можете имати ово као 1/2 минус. Могли сте урадити то гомилом различитих комбинација тако да можете завршити са збиром који је рационалан. Али можете, такође једноставно, сабрати два ирационална броја и још увек завршити са ирационалним бројем. На пример, ако је а једнако пи и b је једнако пи, па, тада ће њихов збир бити једнак два пи, што је још увек ирационалан број. Или, ако саберете пи са квадратним кореном од два, ово ће још увек бити ирационалан број. Заправо, математички, само бих изразио ово као пи плус квадратни корен од два. Ово је неки број овде, и ово ће још увек бити ирационалан број. Дакле, велики закључак је да, ако узимате збир два ирационалан броја и људи вам не кажу ништа друго, не кажу вам који су они ирационални бројеви тачно, не знате да ли ће њихов збир бити рационалан или ирационалан. Сада, размислимо о производу. Слична вежба, рецимо да имамо а пута b је једнако с, аb је једнако с, а пута b је једнако с. И још једном, рецимо да вам неко каже да су оба, а и b ирационални. Паузирајте снимак и размислите о томе да ли с мора бити рационалан, ирационалан, или ми то не знамо. Покушајте да одредите неке примере као што смо урадили када смо тражили збир. У реду, па, размислимо о, да видимо да ли можемо конструисати примере где с завршава као рационалан. Па, једна ствар, као што можете рећи, волим да користим пи, пи може бити мој омиљени ирационалан број. Ако је а било један кроз пи а b је пи, па, колики ће њихов производ бити? Па, њихов производ ће бити један кроз пи пута пи, то ће бити само пи кроз пи, што је једнако један. Овде смо добили ситуацију где производ два ирационална броја постаје, или је, рационалан. Али шта да сам помножио, и уопштено можете урадити ово са много ирационалних бројева, један кроз квадратни корен од два пута квадратни корен од два, то би било један. Шта да сам уместо тога имао пи пута пи? Пи пута пи, то можете записати као пи на квадрат, а пи на квадрат ће још увек бити ирационалан број. Ово је ирационалан, ирационалан. То није баш увек случај да ако помножите исти ирационалан број, ако квадрирате ирационалан број да ће то увек бити ирационалан број. На пример, ако имам квадратни корен од два пута, мислим да увиђате где ово води, пута квадратни корен од два, узимам производ два ирационалана броја. Заправо, то су исти ирационални бројеви, а квадратни корен од два пута квадратни корен од два, па, то ће бити једнако два, што је, јасно је, рационалан број. Дакле, још једном, када узимате производ два ирационалана броја, не знате да ли ће њихов производ бити рационалан број, или ирационалан број осим ако вам неко каже одређене бројеве. Да ли узимате производ, или збир ирационалних бројева, у циљу да знате да ли је резултујући број ирационалан или рационалан, треба да знате нешто о томе шта узимате за збир, или производ.