Међусобно превођење рекурзивних и експлицитних облика аритметичких низова

Дакле, имам овде функцију, h oд n и рецимо да она експлицитно дефинише чланове низа. Допустите ми да начиним малу... Допустите ми да сачиним овде брзинску табелу. Имамо n, и онда имамо h oд n. Када је n једнако један, h oд n је минус 31, минус седам пута један минус један, што ће бити... Ово ће једноставно бити нула, дакле, то ће бити минус 31. Када је n једнако два, то ће бити минус 31 минус седам пута два минус један, дакле, два минус један. Ово ће бити један, дакле, то је минус 31 минус седам, што је једнако 38. Када је n једнако три, то ће бити минус 31 минус седам пута три минус један, што је само два, дакле, одузећемо седам двапут. То ће бити минус 31 минус 14, што је једнако са минус 45. Шта видимо да се дешава овде? Почињемо од минус 31, и онда настављамо одузимати, настављамо одузимати минус седам. Настављамо одузимати минус седам од тога. Заправо, одузимамо минус седам једанпут мање од редног... Одузимамо минус седам једанпут мање од редног броја члана са којим имамо посла. Ако имамо посла са трећим чланом одузимамо минус седам двапут. Ако имамо посла са другим чланом одузимамо минус седам једном. Све је ово лепо, али оно шта желим сада да урадите јесте да паузирате снимак и проверите да ли можете дефинисати овај потпуно исти низ. Низ овде је такав да почињете од минус 31, и настављате одузимати минус седам, дакле, минус 38, минус 45. Следећи члан ће бити минус 52, и тако даље и тако даље. Настављате да одузимате минус седам. Можемо ли дефинисати овај низ у облику рекурзивне функције? Зашто не бисте то урадили? Покушајмо да дефинишемо низ у облику рекурзивне функције. Назовимо је g oд n, значи, g oд n. На неки начин, рекурзивна функција је лакша, пошто можете рећи, у реду, погледајте, први члан када је n једнако један, ако n једнако један, дајте да запишем то, ако је n једнако један, ако је n једнако један, колико ће g oд n бити? То ће бити минус 31, минус 31. А ако је n, ако је n веће од један и ако је цео број, дакле, ово ће бити дефинисано за све позитивне целе бројеве, и цео број, и цео број, то ће бити претходни члан, дакле, g oд n минус један минус седам, минус седам. Кажемо, хеј, ако изаберемо неки полазни члан само треба да погледамо у претходни члан и онда одузмемо, и онда одузмемо седам. То све функционише лепо и лако, пошто настављате тражити претходни, претходни, претходни члан све док не дођете до основног случаја, што је када је n једнако један, и можете изградити повратак одатле. Добијате овај потпуно исти низ. Урадимо још један пример, али хајдемо другим смером. Овде имамо, имамо низ дефинисан рекурзивно, и желим да креирам функцију која дефинише низ експлицитно. Размислимо о овоме. Један начин да посматрате то, овај низ, када је n једанко један, он почиње од 9,6, и онда сваки члан је претходни члан минус 0,1. Други члан ће бити претходни члан минус 0,1, дакле, то ће бити 9,5. Затим прелазите на 9,4. Затим стижете до 9,3. Можемо наставити даље и даље и даље. Ако желимо, можемо начинити табелицу овде и рећи ово је n, ово је h oд n, и видите када је n једнако један, h oд n је 9,6. Када је n једнако два, сада смо на овом случају овде, то ће бити h oд n два минус један, дакле, то ће бити h oд n један минус 0,1. То ће бити ово минус 0,1, што ће бити 9,5. Када је h три, то ће бити h oд два, h oд два минус 0,1, минус 0,1. h oд два је ово управо овде. Одузимате десети део, добићете 9,4, тачно оно што смо видели овде. Да видимо да ли можемо сада да паузирамо снимак и дефинишемо ово... Креирајте функцију која конструише или дефинише овај аритметички низ, експлицитно. Овде је то било рекурзивно. Желимо да дефинишемо то експлицитно. Па, назовимо то, не знам, назовимо то са f oд n. Можемо рећи, погледајте, то ће бити 9,6, али одузећемо, одузећемо 0,1 одређени број пута зависно од тога који члан је у питању. Одузећемо 0,1, али колико пута ћемо га одузети као функција од n? Да видимо. Ако говоримо о првом члану одузимамо нула пута. Други члан, одузимамо једном. Трећи члан, одузимамо два пута. Четврти члан, одузимамо три пута. Који год члан да је у питању одузимамо редни број тог члана минус један пут. Ако говоримо о n-том члану, одузимамо ову вредност пута n минус један. Можете проверити да ли ово функционише. Када је n једанко један овај члан овде ће бити нула, дакле, ово све ће бити нула. Добијате 9,6. Када је n једнако два, два минус један, одузимате 0,1 једном. 9,6 минус 0,1 је 9,5. Можете наставити да чините то. Можете нацртати табелу, и израчунати ово, ако желите. Кључна ствар овде је да почињете од 9,6 и одузимате 0,1 једанпут мање од редног броја члана који посматрате. Ако посматрате, ако је n једнако, ово је n је једнако четири, добро, одузећете 0,1 три пута, и видите то. Одузимате 0,1 једном, одузимате 0,1 двапут, одузимате 0,1 три пута.