Међусобно превођење рекурзивних и експлицитних облика геометријских низова

... Дакле, имам функцију g oд x је једнако 9 на х минус 1 степен. И она је дефинисана за позитивне х... или ако је х позитиван...цео број. Ако је х позитиван цео број. Дакле, можемо рећи да је домен ове функције, или сви дозвољени улази овде су позитивни цели бројеви. Значи, 1, 2, 3, 4, 5 и тако даље. Дакле, ово је једна експлицитно дефинисана функција. Оно што желим сада да урадим јесте да запишем рекурзивну дефиницију ове потпуно исте функције. Која ће за дато х дати потпуно исти излаз. Па, хајде да прво покушамо да разумемо улаз и излаз овде. Па, направимо малу табелу. Направимо овде табелу. И размислимо о томе шта се дешава када ставимо различите х-еве у ову дефиницију функције. Дакле, домен су позитивни цели бројеви. Па, испробајмо пар њих. 1, 2, 3, 4. И онда да видимо шта је одговарајуће g oд х. g oд х. Дакле, када је х једнако 1, g oд х је 9 пута 8 на 1 минус 1 степен, 9 пута 8 на 0 степен или 9 пута 1. Значи, g oд х ће бити 9. Када је х 2, шта ће се догодити? То ће бити 9 пута 8 на 2 минус 1. Дакле, то је исто што и 9 пута 8 на први степен. А то ће бити 9 пута 8. Значи, то је 72. Заправо, допустите ми да запишем то на тај начин. Допустите ми да запишем то као 9 пута 8. 9 пута 8. Тада, када је х једнако 3, шта се дешава овде? Па, ово ће бити 3 минус 1 једнако је 2. Дакле, то ће бити 8 на квадрат. Значи, то ће бити 9 пута 8 на квадрат. Дакле, можемо записати то као 9 пута 8 пута 8. Мислим да видите како се обликује образац. Када је х једнако 4, ово ће бити 8 на 4 минус 1 степен, или 9 на трећи степен. Дакле, то је 9 пута 8 пута 8 пута 8. Тако, ово пружа добар закључак о томе како бисмо дефинисали ово рекурзивно. Приметите, ако је наш први члан, када је х једнако 1, једнак 9, сваки други члан после тог је 8 пута прошли члан. Је 8 пута претходни члан. 8 пута претходни члан. 8 пута претходни члан. Па, дефинишимо то као рекурзивну функцију. Значи, прво дефинишемо наш основни случај. Дакле, можемо рећи g oд х...и ја ћу записати ово новом бојом пошто сам претерао са црвеном. Свиђа ми се плава. g од х. Добро, можемо дефинисати наш основни случај. То ће бити једнако 9 ако је х једнако 1. g oд х је једнако 9 ако је х једнако 1. Дакле, то води рачуна о том управо тамо. А затим, ако је х једнако било шта друго, то је једнако са претходним g oд х. Дакле, ако тражимо...идемо скроз доле до х минус 1, и онда х. Дакле, ако је овај улаз овде g oд x минус 1 колико пута множите 8 и имамо 9 испред, дакле, ово је g oд х минус 1. Знамо да је g oд х... знамо да ће ово овде бити једнако претходном улазу, g oд х минус 1. Претходни улаз пута 8. Дакле, можемо то записати овде. Пута 8. Значи, за свако друго х различито од 1, g од х је једнако претходни улаз...дакле, то је g oд...ја ћу записати то у плавој боји... g oд х минус 1 пута 8. Ако је х веће од 1, или, х је цео број већи од 1. Сада, проверимо да ли ово стварно функционише. Тако, нацртајмо овде другу табелу. Нацртајмо овде другу табелу. Дакле, још једном, имаћемо х и имаћемо g oд х. Али овај пут ћемо користити рекурзивну дефиницију за g oд х. А разлог зашто је рекурзивна јесте зато што се позива на саму себе. У самој дефиницији, она каже, хеј, g oд х, добро, ако х није једнако са 1, то ће бити g oд х минус 1. Функција користи саму себе. Али видећемо да то ставрно функционише. Па, да видимо... Када је х једнако 1, дакле, g oд 1...па, ако је х једнако 1, то је једнако 9. То је једнако 9. Значи, то је било прилично једноставно. Шта се дешава када је х једнако 2? Па, када је х једнако 2, овај случај није више применљив. Прелазимо на овај доњи случај. Дакле, када је х једнако 2, то ће бити еквивалентно са g oд 2 минус 1. Допустите ми да запишем то. То ће бити еквивалентно са g oд 2 минус 1 пута 8, што је исто што и g oд 1 пута 8. А колико је g oд 1? Па, g oд 1 је управо овде. g oд 1 је 9. Дакле, ово ће бити једнако 9 пута 8. Тачно шта смо добили овде. И наравно, ово је било еквивалентно са g oд 2. Па, дајте да запишем ово. Ово је g oд 2. Допустите да скролујем малчице доле тако да не помешам све. Значи, сада прелазимо на 3. Пређимо на 3. И сада ћу записати прво g oд 3. Значи, g oд 3 је једнако... ми ћемо у овом случају... то је једнако g oд 3 минус 1 пута 8. Дакле, то је једнако са g oд 2 пута 8. Па, колико је g oд 2? Па, g oд 2, већ смо одредили је 9 пута 8. Дакле, то је једнако 9 пута 8... то је једнако g oд 2...пута 8, поново. И дакле, видите да смо добили потпуно исти резултат. Дакле, ово је рекурзивна дефиниција ове функције.