Експлицитне и рекурзивне формуле за геометријске низове

Дакле, ова овде табела где вам је дата гомила n, n је једнако један, два, три, четири, и добили смо одговорајуће g од n. И један начин да посматрате то јесте да је ово функција, g дефинише низ где је n члан низа. Дакле, на пример, могли бисмо рећи да је ово иста ствар као низ где је први члан 168, други члан је 84, трећи члан је 42, а четврти члан је 21, и настављамо даље, и даље и даље. Сада, размислимо о томе која врста низа је ово. Ако размишљамо о томе као почетку у 168, и како стижемо од 168 до 84? Па, један начин, можете рећи да одузимамо од 84, али други начин да размишљате о томе је да множите са једном половином. Дакле, пута једна половина. И онда да стигнете од 84 до 42, множите са једном половином поново. Пута једна половина. А да стигнете од 42 до 21, множите са једном половином, поново. Дакле, ово тачно овде је геометријски низ. Почињемо од члана и сваки следећи члан је претходни члан пута, често се назива количником, пута једна половина. Дакле, како записујемо g од n, како дефинишемо ово експлицитно n? И охрабрујем вас да паузирате снимак и размислите о томе како радимо то. Дакле, конструкција, па, ако кажем g од n је једнако, размислите о дефиницији функције која описује оно што смо управо видели овде, полазећи од 168, и онда множећи са једном половином сваки пут када додајете нови члан. Па, један начин да размишљамо о томе је да почињемо од 168, и онда ћемо множити са једном половином, множићемо са једном половином одређени број пута. Дакле, могли бисмо посматрати експонент као број пута који множимо са једном половином. А колико пута ћемо множити са једном половином? Овај први члан, множимо са једном половином нула пута. Други члан, множимо са једном половином једном. Трећи члан, множимо са једном половином два пута. Четврти члан, множимо са једном половином три пута. Дакле, закључак, изгледа да код ког год члана да смо множимо са једном половином, редни број тог члана минус један пут. И можете видети да ово функционише. Ако је n једнако један, имаћете један минус један, то ће бити нула. Једна половина на нулти је један. Дакле, добићете 168. Ако је n два, па, два минус један, множићете са једном половином једном, што видите тачно овде, n је три, множићете са једном половином двапут. Три минус два је, или, три минус један је два. Множићете са једном половином двапут, и видећете то управо тамо. Дакле, ово изгледа као веома лепа експлицитна дефиниција за овај геометрисјки низ. И можете размишљати о томе на други начин, можете записати ово као g од n је једнако, да видимо, један начин на који бисте могли записати то, као могли бисте записати то као 168 и управо ћу алгебарски манипулисати тим, кроз два на n минус један. Други начин на који бисте могли размишљати о томе је, добро, употребимо наша својства степена малчице, могли бисмо рећи да је g од n једнако са, да видимо, једна половина на n минус један, то је иста ствар као једна половина, дајте да запишем ово. То је једнако 168. Допустите ми да запишем ово у другој боји. Значи, овај део овде је иста ствар као једна половина на n. Дакле, пута једна половина n, пута једна половина на минус један. Једна половина на минус један. Па, једна половина на минус један је два, је два, дакле, ово је пута два. Дакле, могли бисмо преписати ово све као 168 пута два је колико? 336? 336, да ли сам израчунао то тачно? 160 пута два би било 320, плус 16, два пута осам, дакле, јесте, 336. И онда пута једна половина на n. Пута једна половина на n. Дакле, ово су еквивалентна тврђења. Ово се чини малчице више интуитивним, некако вам пада на памет, почињете од 168 и множите са једном половином. Редни број члана на ком сте минус један пут. Али ово је алгебарски еквивалентно са овим, са нашим полазним. Али, можемо ли такође дефинисати g од n рекурзивно? И охрабрујем вас да паузирате снимак и покушате да урадите то. На много начина, рекурзивна дефиниција је малчице правилнија, па урадимо то. g, па, записаћу рекурзивну функцију другачије, па, добио сам, запео сам на g од n од, кад је то на овој табели овде. g од n је једнако, и дакле, да видимо, ако идемо на, када је n једнако један, ако је n једнако један, почињемо од 168. 168 и, ако је n веће од један и цео број, значи, ако је n, дакле, ово ће бити дефинисано за све позитивне и целе бројеве, шта ћемо урадити? Па, узећемо једну половину и помножити је са претходним чланом. Дакле, то ће бити једна половина пута g од n минус један. И можете проверити да ово функционише. Ако је n једнако један, прелазимо овде, то ће бити 168. g од два ће бити једна половина пута g од један, што је, наравно, 168. дакле, 168 пута једна половина је 84. g од три ће бити једна половина пута g од два, што је, g од три је једна половина пута g од два. Дакле, ово је како ћемо дефинисати, ово је експлицитна дефиниција овог низа, ово је рекурзивна функција која дефинише овај низ.