Увод у аритметичке низове

... Оно што желим да урадим у овом снимку је да се боље упознамо са веома уобичајеном врстом низова, а то су аритметички низови. И они су обично, веома лаки за уочавање. То су низови у којима је сваки члан за непроменљив број већи од претходног члана. Дакле, мој задатак овде, је да пронађем који од ових низова су аритметички низови. И затим,само да би мало вежбали неке записе низова, желим да их дефинишем или као експлицитне функције чланова које тражите, преко индекса који тражите, или изражено преко претходног члана. Дакле, прво, пошто знамо да је аритметички низ онај, код којег је сваки следећи члан за непроменљиву вредност већи од претходног, који од ових је аритметички низ? Па, погледајмо овај први овде. Да би ишли од негативних 5 до негативних 3, морамо да додамо 2. Затим, да би ишли од негативних 3 до негативних 1, морате да додате 2. Онда, да би ишли од негативних 1 до 1, морате да додате 2. Значи, ово је очигледно, аритметички низ. Додајемо исту вредност сваки пут. И постоји неколико начина на које би могли да дефинишемо низ. Могли би да кажемо да је то а индекс n. И не морате увек да користите к. Овог пута ћу употребити n да означим наш индекс. Од n једнако 1 до бесконачности са...и постоје два начина да дефинишемо то. Можемо да га дефинишемо или експлицитно или би могли да дефинишемо преко претходног члана. Дакле, ако би хтели да то дефинишемо експлицитно, могли би да напишемо а индекс n је једнако првом члану, ма који он био... У овом случају, наш први члан је негативних 5. То је једнако негативних 5 +... додаваћемо 2 за 1 мање пута него што је члан на којем смо. Дакле, за други члан, додајемо 2 једном. За трећи члан, додајемо 2 двапут. За четврти члан, на наш почетни члан, смо додали 2 три пута. Значи, додаваћемо 2. Додаћемо позитивних 2 за 1 мање пута него што је индекс који посматрамо...n - 1 пута. Значи, ово је експлицитна дефиниција овог аритметичког низа. Када бих хтео да га напишем преко претходног члана, могао бих да кажем да је а индекс 1 једнак негативних 5. Онда је сваки следећи члан, за а индекс 2 и већи... Дакле, могао бих да кажем да је а индекс n једнако а индекс n-1, + 3. Сваки члан је једнак претходном члану...ох, није 3... + 2 . Значи, ово је за n веће или једнако 2. Дакле, било који од ових је потпуно легитиман начин за дефинисање аритметичког низа који имамо овде. Можемо га или дефинисати експлицитно, или можемо преко претходног члана. Сада, хајде да погледамо овај низ. Да ли је овај аритметички? Па, идемо од 100. Додамо 7. 107 до 114, додајемо 7. 114 до 121, додајемо 7. Значи, ово јесте заиста, аритметички низ. Дакле, само да будемо прецизни, овај и овај овде. И могли би да напишемо да је ово низ а индекс n, n иде од 1 до бесконачно, од...могли би да кажемо само а индекс n, ако хоћемо да га дефинишемо експлицитно, ...је једнако 100 +, додајемо 7 сваки пут. И онда, сваки члан... за други члан смо додали 7 једном. Трећи члан...додали смо 7 двапут. Значи, за n-ти члан, додаћемо 7, n-1 пут. Дакле, ово је експлицитна дефиниција, али можемо такође, да урадимо то и преко претходног члана. ... Дакле, само да буде јасно, ово је дефиниција где пишемо ово овако, или можемо да напишемо а индекс n, за n једнако од 1 до бесконачно. И у сваком случају, би требало да напишем то. И ако хоћу да дефинишем преко претходног члана, могао бих да кажем да је а индекс 1 једнако 100. И онда, за све веће од 1, за било који индекс већи од 1, а индекс n је једнако претходном члану + 7. И, урадили смо. Ово је други начин да га дефинишемо. Дакле, генерално, ако сте хтели уопштени начин да уочите или дефинишете аритметички низ, могли би да кажете да ће аритметички низ бити у облику а индекс n...ако говоримо о бесконачном низу...за n једнако од 1 до бесконачности. Ако хоћете да га дефинишете екслицитно, могли би да кажете да је а индекс n једнако некој константи, што је, у суштини, први члан. То би било нека константа + неки број за који повећавате...или, претпостављам да би то могао бити и негативан број, или за који смањујете...пута n-1. Дакле, ово је један начин да дефинишете аритметички низ. У овом случају, d је било 2. У овом случају, d је 7. То је онолико, колико додајете сваки пут. А у овом случају, к је негативних 5, а у овом случају, к је 100. На други начин, ако би хтели да напишете преко претходног члана дефиницију за општи члан аритметичког низа, Могли би да кажете да је а индекс 1 једнако к, и онда да је а индекс n једнако а индекс n-1, овај члан је једнак претходном члану, + d, за n веће или једнако 2. Дакле, још једном, ово је експлицитно. Ово је преко претходног члана дефинисање низа. И само ћемо написати "са" овде. Сада, последње питање које имам је, да ли је овај овде аритметички низ? Па, хајде да проверимо. Почнемо са 1. Онда додамо 2. Затим додајемо 3. Дакле, ово је одмах показатељ да ово није аритметички низ. Сада, додајемо 4. Додајемо различиту вредност сваки пут. Значи, овај, пре свега, овај није аритметички. Ово није аритметички низ. Али како би дефинисали овај, пошто покушавамо да дефинишемо наше низове? ... Рецимо да хоћемо да га дефинишемо преко претходног члана. Дакле, могли би да кажемо, ово је једнако а индекс n, где n иде од 1 до бесконачности, са...рећи ћемо за наш основни случај...а индекс 1 је једнако 1. И онда, за n је 2 или веће, а индекс n ће бити једнако чему? Значи, а индекс 2 је претходни члан + 2. а индекс 3 је претходни члан + 3. а индекс 4 је претходни члан + 4. Дакле, биће претходни члан + онолико колики је ваш индекс. ... Па, ово делује близу, али приметите овде, ми мењамо вредност коју додајемо на основу тога колики је наш индекс. Додајемо вредност индекса на претходни члан. И, значи, ово је за n је веће или једнако 2. Па, за аритметички низ, додајемо исту вредност, без обзира колики је наш индекс. Овде, додајемо сам индекс. Дакле, овај није аритметички, али није мање интересантан низ.