Увод у низове

... Оно што желим да урадим у овом снимку јесте да нам приближим појам низа. А све што један низ јесте је једна уређена листа бројева. Тако на пример, могу имати коначан низ... то значи да немам бесконачан број бројева у њему... где, рецимо, почињем од 1 и настављам додавати 3. Дакле, 1 плус 3 је 4. 4 плус 3 је 7. 7 плус 3 је 10. И рецимо да имам само ова овде четири члана. Онда, овај низ ћемо звати коначан низ. Могу такође имати бесконачан низ. Па, један пример за бесконачан низ... Рецимо да почнемо од 3 и настављамо додавањем 4. Значи, добијамо 3, 7, 11, 15. И не морате увек додавати исти број. Истражићемо интересантније низове. Низови код којих додајете исту вредност, називамо аритметичким низовима, које ћемо такође проучити детаљније. Али, да покажемо да је ово бесконачан низ, да покажемо да настављамо овај образац све даље и даље ставићу три тачке... Ово значи да ће се настављати у бесконачно. Дакле, ово можемо звати бесконачан низ. Сада, постоји гомила различитих ознака који се чине добрим за означавање низова. Али ово је све што оне означавају. А желим да нам приближим како можемо означавати низове и такође, како их можемо дефинисати. Можемо рећи да је ово овде низ а индекс к, за к иде од 1 до 4, је једнако са овим овде. Дакле, када погледамо овај низ, можемо посматрати све ово као чланове низа. Ово овде би био први члан. Зваћемо га а индекс 1. Ово овде би био други члан. Зваћемо га а индекс 2. Мислим да схватате... а индекс 3. Ово овде је а индекс 4. Дакле, ово каже, а индекс к, за к једнако 1, од нашег првог члана до нашег четвртог члана. Сада, могу то такође дефинисати не записујући експлицитно низ овако. Могу у суштини учинити то дефинисањем нашег низа експлицитно користећи ознаку функције или нечега близу ознаке за функцију. Тако, потпуно исти низ, могу га дефинисати као а индекс к, за к је једнако 1 до 4, са...уместо експлицитног записивања бројева овде, могу рећи а индекс к је једнако са неком функцијом од к. Па да видимо шта се дешава. Када је к једнако 1, добијемо 1. Када је к једнако 2, добијемо 4. Када је к једнако 3, добијемо 7. Па да видимо. Када је к једнако 3, додајемо 3 двапут. Дајте да разјасним то. Значи ово је било а плус 3. Ово овде је било а плус 3. Ово овде је а плус 3. Дакле, колико год било к, почињемо од 1. И додајемо 3 једанпут мање од броја к. Значи, можемо рећи да ће ово бити једнако 1 плус к минус 1 пута 3, или бих можда требао записати 3 пута к минус 1...иста ствар. 3 пута к минус 1. И можете проверити да ово функционише. Дакле, можете проверити да ово функционише. Ако је к једнако 1, добићете 1 минус 1 је 0. И тада ће а индекс 1 бити 1. Ако је к једнако са 2, имаћете 1 плус 3, што је 4. Ако је к једнако са 3, добијете 3 пута 2 плус 1 је 7. Дакле, то функционише. Дакле, ово је начин експлицитног дефинисања нашег низа са овом ознаком за функцију. Желим да разјасним то...ја сам у суштини дефинисао овде функцију. Да сам желео традиционалнију ознаку функције, записао бих а од к, где је к члан који ме занима. а од к је једнако 1 плус 3 пута к минус 1. Ово је у суштини функција, где су дозвољене улазне вредности, домен, ограничене на позитивне целе бројеве. Даље, како бих записао ову ствар овде? Па, могу рећи да је ово једнако, а људи теже да користе слово а. Али ја могу употребити ознаку b индекс к или било шта друго . Али поново ћу... а индекс к. А овде, идемо од нашег првог члана... значи, ово је а индекс 1, ово је а индекс 2... све до бесконачно. Или можемо дефинисати то... да смо желели да дефинишемо то експлицитно као функцију...могли смо записати овај низ као а индекс к, где к почиње од првог члана и иде до бесконачно, са, а индекс к је једнако...дакле, почињемо од 3. И додајемо 4 једанпут мање. За други члан, додајемо 4 једном. За трећи члан, додајемо 4 двапут. За четврти члан, додајемо 4 три пута. Значи, додајемо 4 једанпут мање од реда члана код кога смо. Тако да ће то бити плус 4 пута к минус 1. 4 пута к минус 1. Дакле, ово је други начин дефинисања овог бесконачног низа. Сада, у оба ова случаја, дефинисао сам то као експлицитну функцију. Дакле, ово овде је експлицитно. То није атрактивна боја. Дозволите да упишем ово. Ово је експлицитна функција. И тако можете рећи, добро, који је други начин дефинисања ове функције? Па, можемо је такође дефинисати, посебно нешто попут аритметичког низа, можемо га такође дефинисати рекурзивно. И желим да будем јасан... не може сваки низ бити дефинисан као експлицитна функција попут овог, или као рекурзивна функција. Али многи низови могу, укључујући овај, који је аритметички низ, где настављамо додавање исте вредности све даље и даље. Па, како ћемо урадити то? Па, можемо такође...други начин дефинисања овог првог низа, можемо рећи а индкс к, почиње од к је једнако 1 и иде до 4 укључујући и 4. И када дефинишете низ рекурзивно, желите да дефинишете колики је први члан, а индекс 1 једнако је 1. Сваки следећи члан можете дефинисати преко његовог претходног. И тако тада можемо записати а индекс к је једнако претходном члану. Дакле, ово је а индекс к минус 1. Значи дати члан је једнак претходном члану. Дозволите да разјасним то... ово је претходни члан, плус... у овом случају, додајемо 3 сваки пут. Додајемо 3 сваки пут. Сада, како ово има смисла? Па, дефинисаћемо колико је а индекс 1. И ако неко каже, добро, шта се дешава са к је једнако 2? Па, они кажу, добро, то ће бити а индекс 2 минус 1. Значи, то ће бити а индекс 1 плус 3. Добро, знамо да је а индекс 1 једнако 1. Тако да ће то бити 1 плус 3, што је 4. Добро, а шта за а индекс 3? Па, то ће бити а индекс 2 плус 3. а индекс 2, управо смо израчунали да је 4. Додајете 3. То ће бити 7. Ово је у суштини шта смо у глави радили када сам прво записао низ, када сам рекао, хеј, почећу од 1. И само ћу додати 3 за сваки следећи члан. Дакле, како решавамо овај? Па, још једном, можемо записати ово као а индекс к. Почињемо од к, први члан, иде до бесконачно, где ће наш први члан, а индекс 1, бити 3, сада. И сваки следећи члан, а индекс к, ће бити претходни члан, а индекс к минус 1, плус 4. И још једном, почињете од 3. И онда ако желите други члан, он ће бити први члан плус 4. То ће бити 3 плус 4. Добијате 7. И настављате додавати 4. Значи, обе ове, ова овде је рекурзивна дефиниција. Почели смо са неким базним случајем. И онда сваки члан смо дефинисали преко претходног члана саме функције, али функције за различите чланове. ...