Увод у геометријске низове

У овом снимку желим да вас упознам са идејом геометријског низа. И имам тону снимака напреднијег нивоа са овом темом, али је заправо, добро, за почетак, само разумети о чему причамо када вам неко помене геометријски низ. Сада, добар почетак је само шта је низ? А низ је, можете замислити, само низ бројева. Дакле, на пример, а ово чак није ни геометријски ред, ако кажем само 1, 2, 3, 4, 5. Ово је низ бројева. То није геометријски низ, али је низ. Геометријски низ је посебан редослед, или посебан низ, бројева, где је сваки следећи број непроменљив умножак претходног броја. Дајте да вам објасним оно што цам хтео да кажем. Дакле, рецимо да је мој први број 2 и онда множим 2 са бројем 3. Дакле, помножим са 3, добијам 6. И затим, множим 6 пута број 3, и добијам 18. Онда множим 18 пута број 3, и добијам 54. И само наставим тако. Дакле, само наставим да множим са бројем 3. Дакле, почео сам, ако би хтели да ставимо неку ознаку овде, ово је мој први члан. Назваћемо га а1 за мој низ. И сваки пут га множим истим бројем, и тај број се често зове количник. Значи, у овом случају, а1 је једнако 2, а мој заједнички количник је једнак 3. Дакле, када би вам неко рекао, хеј, имате геометријски низ. а1 је једнако 90 и ваш заједнички количник је једнак негативних 1/3. То значи да је први члан вашег низа 90. Други члан је негативних 1/3 пута 90. Што је, колико? То је негативних 30, јел тако? 1/3 пута 90 је 30, и онда ставите негативан број. Тада ће следећи број бити 1/3 пута ово. Дакле, негативних 1/3 пута ово. 1/3 пута 30 је 10. Негативни се поништавају, тако да добијате позитивних 10. Онда ће следећи број бити 10 пута негативних 1/3, или негативних 10/3. А онда ће следећи број бити негативних 10/3 пута негативних 1/3, тако да ће бити позитивних 10/9. И могли би једноставно, да наставите са овим низом. Дакле, на то људи мисле када говоре о геометријском низу. Желим да приметите разлику овде. Ово ме је стално збуњивало зато што се термини користе веома често у истом контексту. Ово су низови. То су некако, као набрајање бројева. 2, затим 6, онда 18, 90, затим негативних 30, па 10, па негативних 10/3. Онда, извините, ово је позитивних 10/9, јел тако? Негативних 1/3 пута негативних 10/3, негативни се поништавају. Тако је. 10/9. Не желим да направим грешку овде. Ово су низови. Можете да видите такође, и реч - редови. А можете чак и да видите - геометријски редови. Редови, најстандарднија употреба речи редови, значи суму низова. Дакле, на пример, ово је геометријски низ. Геометрисјки ред би био 90 + негативних 30 + 10 + негативних 10/3 + 10/9. Значи, општи начин да посматрате редове је да су то суме низова. I Само сам желео да то разјасним, зато што ме је то збуњивало много, онда, када сам први пут учио о овим стварима. Али, у сваком случају, хајде да се вратимо на појам геометријског низа, и заправо, урадимо текстуални задатак који се бави једним од њих. Дакле, кажу нам да Ана иде на банџи џампинг са моста изнад воде. У првом скоку, сајла се истегла 120 стопа [1 стопа = 0,31 m] Значи за а1, наш први скок, сајла се истегла за 120 стопа. Могли би то да запишемо овако. Могли би да напишемо, скок, и онда, колико се истегла сајла. S Значи, у првом скоку, у скоку 1, сајла се истегла 120 стопа. Онда каже, у следећем одскоку, истезање је 60% од почетног скока, и онда сваки додатни одскок истеже канап 60% од претходног истезања. Дакле, овде, заједнички количник, где ће сваки следећи члан нашег низа бити 60% од претходног члана. Или, биће 0,6 пута претходни члан. Значи, на другом скоку, кренућемо са 60% од овога, или 0,6 пута 120. Што је једнако, чему? То је једнако 72. Онда, у трећем скоку, истегнућемо се 0,6 од 72, или 0,6 пута ово. Дакле, биће 0,6 пута 0,6 пута 120. Приметите, овде, значи да ће на четвртом скоку бити 0,6 пута 0,6 пута 0,6 пута 120. 60% овог скока, тако да смо сваки пут на 60% од претходног скока. Дакле, ако хоћемо да направимо општу формулу од овога, засновану само на начину како смо то дефинисали овде. Значи, истезање на n-том скоку, колико би било? Па, да видимо, почињемо у 120 пута 0,6 на колико? На n-1. Како сам добио ово? Дајте да запишем ово овде негде. Значи, ово је једнако 0,6, заправо, написаћу 120 прво. Ово је једнако 120 пута 0,6 на n-1. Како сам добио то? Па, дефинисали смо први скок као истезање од 120 стопа. Тако да ако ставите да је n једнако 1 овде, добијате 1 - 1, 0. Дакле, имате 0,6 на 0-ти степен,и добили сте само 1 овде. И то је управо оно што се догодило на првом скоку. Затим, на другом скоку, ставите 2 - 1, и приметите да је 2 - 1 први степен, и имамо тачно једно 0,6 овде. Тако сам закључио да је n-1 јер када је n 2, имамо једно 0,6, када је n 3, имамо два 0,6 помножених међусобно. Када је n 4, имамо 0,6 на трећи степен. Значи, колико год да је n, узимамо 0,6 на n-1 степен, и наравно, множимо то пута 120. И сада, питање које нам такође постављају, колико ће бити истезање сајле на 12-том скоку? И овде ћу да употребим калкулатор. И заправо, дајте да исправим ово мало. Ово није погрешно, али они говоре о одскоку, и могли би да назовемо скок нултим одскоком. Дајте да променим то. Ово није погрешно, али мислим да је ово оно што они хоће са задатком. Дакле, можете да посматрате почетно истезање као нулти одскок. Стога, уместо да га означим као скок, означићу га као одскок. Значи, почетни скок је нулти одскок, онда би ово био први одскок, други одскок, трећи одскок. И тада, наша формула постаје много једноставнија. Јер да сте рекли истезање на n-том одскоку, тада би формула једноставно постала 0,6 на n пута 120, јел тако ? На нултом одскоку, то је наш почетно истезање, добијате 0,6 на 0, што је 1 пута 120. На првом одскоку, 0,6 на први, једно 0,6 овде. 0,6 пута претходно истезање, или претходни одскок. Дакле, ово је изражено у одскоцима, што мислим да је онај који је поставио питање, и желео да урадимо. Дакле, шта је са 12-тим одскоком уз употребу овог записа овде? Значи, ако радимо 12-ти одскок, хајде само да извадимо наш калкулатор. Имаћемо 120 пута 0,6 на 12-ти степен. И надам се да ћемо урадити редослед операција добро, зато што експоненти имају предност у односу на множење, тако да само израчунамо 0,6 на 12-ти степен. Тако да је ово једнако 0,26 стопа. Значи, после 12-тог одскока, она ће се једва померати. Помераће се око 3 инча [1 инч = 2,54 cm] на том 12-том одскоку. Па, надам се да вам је ово било од помоћи. И извињавам се за мала неслагања овде, али заправо мислим да је то на неком нивоу поучно. Зато што увек морате да се уверите да се ваше n добро слаже са вашим резултатима. Тако, када сам говорио о нашем првом скоку, рекао сам, ОК ово је 1. И затим сам имао 0,6 на нулти степен, тако да сам радио n-1. Али, онда када сам променио да ствари буду изражене у одскоцима, ово је био нулти одскок. Ово има смисла за 0,6 на нулти степен. Ово је први одскок, тако да би било 0,6 на први степен. Други одскок, 0,6 на други степен. То је направило нашу једначину мало једноставнијом. У сваком случају, надам се да вам је ово интересантно.