Полуоречник, пречник, обим и π

Круг је вероватно најосновнији облик у нашем свемиру, било да посматрате облик орбита планета, било да погледате у точкове, било да погледате у ствари на молекуларном нивоу. Круг се једноставно појављује изнова и изнова и изнова поново. Дакле, вероватно је за нас вредно труда да разумемо својства круга. Дакле, прва ствар када су људи некако открили кру,г а само требате погледати у месец да бисте видели круг, али први пут када су рекли, добро, која су својства било ког круга? Дакле, прво што су можда желели рећи је добро, круг су све тачке које су на једнакој удаљености од центра круга. Све ове тачке дуж ивице су једнако удаљене од тог центра тачно тамо. Дакле, једна од првих ствари које би неко желео да упита јесте колика је удаљеност, та једнака удаљеност, на којој се све од центра налази? Управо тамо. Ми називамо то полупречником круга. То је удаљеност од центра до ивице. Ако је тај полупречник 3 центиметра, тада ће овај полупречник бити 3 центиметра. И овај полупречник ће бити 3 центиметра. То се никад неће променити. По дефиницији, кружница је скуп тачака које су на једнакој удаљености од централне тачке. А то растојање, то растојање је полупречник. Сада, следећа најинтересантнија чињеница о томе, људи би могли рећи, добро, колико је дебео круг? Колико, колико, колико је широк у односу на најудаљеније тачке? Или ако желите да га исечете дуж најудаљенијих тачака, колико је то растојање тачно тамо? А то не мора бити тачно тамо, могао бих једнако лако исећи то дуж најудаљенијих тачака тачно тамо. Не бих га секао дуж неког места попут тога пошто то не би било дуж његових наудаљенијих тачака. Постоје многа места где бих га могао исећи дуж његових најудаљенијих тачака. Па, управо смо видели полупречник и видели смо да најудаљеније тачке иду кроз центар и настављају даље. Дакле, то су у суштини два полупречника. Добили је сте један полупречник тамо и онда имате други полупречник тамо. Ову раздаљину дуж најудаљенијих тачака круга, називамо пречник. Дакле, то је пречник круга. Он има једноставну повезаност са полупречником. Пречник, пречник је једнак два пута полупречник. Два пута полупречник. Сада, следећа најзанимљивија чињеница коју бисте се могли запитати о кругу јесте колико је дугачко око круга? Дакле, ако бисте изнели врпцу за мерење и били способни да измерите около, около круга тако, ако бисте могли да измерите око круга попут тога, колика је та раздаљина? Ми називамо ту реч обимом, обимом, обимом круга. Сада, знамо како су повезани пречник и полупречник, али како како је обим повезан, са рецимо пречником. А ако нисте заиста навикнути на пречник, веома је лако да одредите како је он повезан са полупречником. Па, хиљадама година уназад, људи су узимали њихову врпцу за мерење и настављали мерење обима и полупречника. И рецимо када њихова врпца за мерење није била толико добра, рецимо да су мерили обим круга и они би добили, добро, то је сличило као да је око 3. А затим су они мерили полупречник круга управо овде или пречник тог круга, и они би рекли, ох, пречник личи да је око 1. Дакле, они би рекли.... дајте ми да запипем ово. Дакле, нас занима разломак... дозволите ми да запишем то овако. Разломак обима кроз пречник. Дакле, рецимо да је неко имао неки круг овде... рецимо да су имали овај круг и први пут са не тако добром врпцом за мерење, они су измерили ивицу круга и они су рекли, хеј, то је грубо једнако са 3 метра када идем скроз около њега. А када измерим пречник круга, он је грубо једнак са 1. У реду, то је интересантно. Можда је разломак обима кроз пречник једнак 3. Дакле, можда је обим увек три пута пречник. Добро, то је важило за овај круг, али рецимо да су они мерили овде неки други круг. Неки попут овог... Нацртао сам га мањег. Рецимо да су они на овом кругу мерили дужину ивице и да су открили да је обим 6 цетиметара, грубо... имали смо тада лошу врпцу за мерење. Затим су одредили да је пречник, да је пречник грубо 2 центиметра. И још једном, разломак обима кроз пречник, обима кроз пречник је био грубо 3. У реду, ово је фина особина кругова. Можда је разломак обима и пречника увек константан за сваки круг. Дакле, они рекоше, дајте да проучим ово даље. Тако да су отишли по бољу траку за мереље. Када су дошли до боље траке за мерење, они измере, хеј, мој пречник је дефинитивно 1. Они рекоше мој пречник је дефинитивно 1, али када измерим мој обим, уочавам да је ближе броју 3,1. Ближе броју 3,1. А исто је и са овим кругом овде. Приметише да је овај разломак ближи броју 3,1. Затим они наставише мерење тога прецизније и прецизније и прецизније, и онда схватише да су добијали овај број, наставише мерење тога све прецизније и прецизније и добише овај број 3,14159. И наставише додавање цифара а оне се никада нису понављале. Био је то чудно фасцинантан метафизички број који наставише да се приказује. Дакле, пошто је овај број био толико фундаменталан у нашем свемиру, пошто је круг толико фундаменталан за наш свемир, а он се појавио, појавио се за сваки круг. Разломак обима кроз пречник је био овај некако магичан број, они му дадоше име. Назвали су га пи, или бисте му могли доделити латинско или грчко слово пи... само тако. То представља овај број који је вероватно нај- фасцинантнији број у нашем свемиру. Он се прво приказао као количник обима и пречника, али ћете научити докле год идете кроз ваше математичко истраживање, да се он појављује свуда. Он је једна од ових фундаменталих ствари о свемиру која чини да мислите да постоји нека уређеност у њему. Али како било, како можемо користити ово у погађам нашој основној математици? Дакле, ми знамо, или ја вам говорим, да је разломак обима и пречника... када кажем разломак, дословно кажем ако поделите обим са пречником, добићете пи. Пи је овај број. Могао бих записати 3,14159 и наставити даље и даље, али то би било траћење простора и то би било тешко оствариво, тако да људи само запишу ово овде грчко слово пи. Дакле, како можемо повезати ово. Можемо помножити обе стране ове једнакости са пречником и можемо рећи да је обим једнак са пи пута пречник. Или, како је пречник једнак са 2 пута полупречник, могли бисмо рећи да је обим једнак са пи пута 2 пута полупречник. Или облик који највише волите да видите, то је једнако са 2 пи r. Дакле, да видимо, можемо ли применити то на неке проблеме. Значи, рецимо да имам круг попут овог и да вам кажем да је његов полупречник... тај полупречник тачно тамо је 3. Дакле, 3... дајте да запишем то... дакле, полупречник је једнак са 3. Можда је то 3 метра... ставите неке јединице ту. Колики је обим овог круга? Обим је једнак са 2 пута пи пута полупречник. Дакле, он ће бити једнак са 2 пута пи пута полупречник, пута 3 метра, што је једнако са 6 метара пута пи или 6 пи метара. 6 пи метара. Сада бих могао измножити ово. Запамтите, пи је само број. Пи је 3,14159 и тако даље и тако даље. Дакле, ако помножим 6 пута то, можда ћу добити 18 запета нешто нешто нешто. Ако имате ваш калкулатор можда бисте желели да израчунате то, али због једноставности људи теже ка томе да оставе наше бројеве у терминима броја пи. Сада не знам колико је ово, ако помножите 6 пута 3,14159, не знам да ли добијете нешто близу 19 или 18, можда је то приближно 18 запета нешто нешто нешто. Немам свој калкулатор испред себе. Али уместо записивања тог броја, само запишите 6 пи тамо. Заправо, мислим да неће нимало прећи границу од 19. Сада, упитајмо још једно питање. Колики је пречник круга? Колики је пречник? Па, ако је полупречник 3, пречник је само двоструко то. Дакле, он ће бити 3 пута 2 или 3 плус 3, што је једнако са 6 метара. Дакле, обим је 6 пи метара, пречник је 6 метара, полупречник је 3 метра. Сада, хајдемо другим путем. Рецимо да имам други круг. Рецимо да имам други круг овде. И да вам кажем да је његов обим, обим је једнак са 10 метара... то је обим круга. Ако бисте ставили врпцу за мерење около њега и неко вас упитао колики је пречник круга? Па, знамо да је пречник пута пи, знамо да је пи пута пречник једнако са обимом; је једнако са 10 метара. Дакле, да решимо ово ми ћемо поделити обе стране ове једначине са пи. Пречник ће бити једнак 10 метара кроз пи или 10 кроз пи метара. А то је само број. Ако имате ваш калкулатор, могли бисте заправо поделити 10 подељено са 3,14159, добићете 3 запета нешто нешто нешто метара. Не могу израчунати то из главе. Али то је само број. Али због упрошћавања ми често оставимо ово овако. Сада, колики је попречник? Па, полупречник је једнак са 1/2 пречника. Дакле, ово цело растојање овде је 10 кроз пи метара. Ако израчунамо 1/2 тога, ако желимо полупречник, само множимо то пута 1/2. Дакле, имате 1/2 пута 10 кроз пи, што је једнако са 1/2 пута 10 или само поделите бројилац и именилац са 2. Добијете 5 тамо, дакле, добијете 5 кроз пи. Дакле, пречник овде је 5 кроз пи. Ништа посебно око овога. Мислим да је ствар која највише збуњује људе јесте да се схвати да је пи број. Пи је само 3,14159 и само се наставља даље и даље. Постоји заправо хиљада књига записаних о броју пи, дакле, то није... не знам да ли постоји хиљаду претерујем, али ви бисте могли записати књигу о овом броју. Али то је само број. То је веома посебан број и ако желите да га запишете на начин на који сте навикли да записујете бројеве, могли бисте дословно само измножити ово. Али већину времена људи само схвате да им се допада да оставе ствари у облику пи. Како било, остављам вас овде. У следећем снимку, одредићемо површину круга.