Увод у запремину

... Људска бића су одувек примећивала да су одређене ствари дуже него друге ствари. На пример, ова дуж изгледа дуже од ове дужи. Али није велика сатисфакција начинити само то поређење. Желите да будете у могућности да измерите то. Желите да будете у могућности да квантитативно изразите колико је дужа друга од прве. И како ћемо то да урадимо? Па, дефинисаћемо јединицу дужине. Дефинисаћемо јединицу дужине. Дакле, ако направимо ово за нашу јединицу дужине, кажемо да је ово једна јединица, онда можемо рећи колико ових дужина је свака од ових линија. Дакле, ова прва дужина изгледа као да је... можемо ставити једну од ових јединица и онда можемо урадити то поново, тако да, изгледа да је ово две јединице. Док ова трећа изгледа као да можемо добити... да видимо, то су 1, 2, 3 јединице. Дакле, ово је три јединице. А овде, само ћу рећи јединице. Понекад, начинимо конвенцију да дефинишемо центиметар, када јединица може да изгледа нешто попут овог. А то ће изгледати различито у зависности од вашег екрана. Или можемо имати један инч који изгледа овако некако. Или можемо имати стопу коју нећу бити у могућности да сместим на овај екран са обзиром колико велики сам нацртао инч или метар. Дакле, постоје различите јединице које можете користити за мерење. А сада размислимо о више димензија. Ово је дословно случај једне димензије. Ово је 1Д. Зашто је то једна димензија? Па, могу једино мерити дужинуу. Једино могу мерити дужину. А сада идемо на 2Д случај. Хајдемо на две димензије где објекти могу имати дужину и ширину или ширину и висину. Значи, замислимо две фигуре овде које изгледају овако. Дакле, рецимо да је ово једна од њих. Ово је једна од њих. И приметите, она има ширину и има висину. Или можете видети то као ширину и дужину, зависно од тога како желите то да посматрате. Дакле, рецимо да је ово једна фигура управо овде. И рецимо да је ово друга. Дакле, ово је друга управо овде. Покушајте да их нацртате довољно добро. Сада, још једном, сада смо у две димензије. И желимо да кажемо, добро, колико дводимензионалног простора ово заузима? Или колику површину свака од ове две заузима? Па, још једном, можемо начинити поређење. Ова друга, ако их посматрате као тепихе или правоугаонике, други правоугаоник заузима више мог екрана од првог, али желим да могу то да измерим. Значи, како бисмо то измерили? Па, још једном, дефинисали бисмо јединични квадрат. Уместо јединице дужине, сада имамо две димензије. Морамо да дефинишемо јединични квадрат. И тако можемо начинити наш јединични квадрат. А јединични квадрат ћемо дефинисати као квадрат, код кога су ширина и дужина обе једнаке јединичној дужини. Дакле, ово је... његова ширина је дужине један и његова висина је дужине један. И тако ћемо често звати ово 1 квадратна јединица. Често ћете рећи да је ово 1 јединица. И ставите двојку овде, ово дословно значи 1 јединица на квадрат. А уместо писања јединице, ово може бити центиметар. Значи, ово би било 1 квадратни центиметар. Сада можемо то користити да измеримо ове површине. И као што смо рекли колико ових јединица дужине може стати на овим дужима, можемо рећи - колико ових јединичних квадрата може стати овде? И тако овде, можемо узети један наш јединични квадрат и рећи - у реду, он попуњава толико простора. Добро, треба нам више да прекријемо све то. Па, тамо, ставимо други јединични квадрат тамо. Ставићемо други јединични квадрат управо тамо. Ставићемо други јединични квадрат управо тамо. Вау, тачно 4 јединична квадрата прекривају ово. Дакле, можемо рећи да ово има површину од 4... 4 квадратне јединице или 4 јединична квадрата. Сада, шта са овим овде? Па, овде, изгледа да могу уклопити 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Дакле, овде могу уклопити 9 јединица, 9 јединичних квадрата. Наставимо даље. Ми живимо у тродимензионалном свету. Зашто да се ограничавамо на једну или две димензије? Дакле, хајдемо на 3Д случај. И још једном, када људи кажу 3Д, они говоре о 3 димензије. Они говоре о различитим правцима у којим можете да мерите ствари. Овде постоји само дужина. Овде постоји дужина и ширина или ширина и висина. А овде, ће бити ширина и висина и дубина. Значи, још једном, ако имате... ако имате, рецимо, један објекат и сада смо у три димензије, ми смо у свету у ком живимо који изгледа овако и онда имате други објекат који изгледа, који изгледа овако, изгледа да овај други објекат заузима више простора, више физичког простора него овај први објекат. Изгледа да он има већу запремину. Али како ћемо заправо то измерити? И запамтите, запремина је колико простора нешто заузима у три димензије. Површина је колико простора нешто заузима у две димензије. Дужина је колико простора нешто заузима у једној димензији. Али када мислимо на простор, ми обично мислимо на три димензије. Дакле, колико простора ћете ви заузимати у свету у ком живимо? Значи, баш како смо чинили и раније, можемо дефинисати, уместо јединице дужине или јединице површине, можемо дефинисати јединичну запремину или јединичну коцку. Па урадимо тако. Дефинишимо нашу јединичну коцку. А овде, то је коцка тако да ће њене дужина, ширина и висина имати исте вредности. Дакле, мој најбољи покушај у цртању коцке. И ово све ће бити једна јединица. Значи, то ће бити једну јединицу високо, једну јединицу дубоко и једну јединицу широко. И тако да измеримо запремину, можемо рећи, добро, колико ових јединичних коцки може да стане у ове различите облике? Па, овај овде, и ви заправо нећете бити у стању да видите све њих. Могао бух у суштини то да разбијем на... дакле, дајте да видим колико добро могу да урадим ово тако да их можемо пребројати. Мало је теже да их све видимо пошто има неких коцки које су иза нас. Али ако размишљате о томе као о два слоја, тако да један слој изгледа овако. Један слој ће изгледати овако. Дакле, замислите две ствари као ове наслагане једна на другу. Значи, једна ће имати 1, 2, 3, 4 коцки. Сада, ово ће садржати два таква наслагана један на другог. Дакле, овде имате 8 јединичних коцки. Или можете имати 8 јединичних коцки запремине. А шта са овим? Ако покушамо да ставимо све унутра... ако покушамо да ставимо све унутра... дајте да видим колико добро могу ово нацртати. Колико добро могу ово нацртати. То ће изгледати овако некако. То ће изгледати овако некако. И очигледно, ово је помало грубо цртање. И дакле, ако бисмо раставили ово, имали бисте у суштини, имали бисте наслагана три оваква дела од којих би сваки изгледао нешто попут овога. Мој најбољи покушај да то нацртам. Три дела који ће изгледати нешто попут овог што ћу нацртати. Значи, то ће изгледати овако некако. Дакле, ако узмете три од ових и ставите их један на други, добићете ово управо овде. А сваки од ових има 1, 2, 3,4 , 5, 6, 7, 8, 9 коцки у себи. 9 пута 3, имаћете 27 јединичних коцки у овом управо овде. Дакле, надам се да нам то помаже да размислимо малчице о томе како меримо ствари, посебно како меримо ствари у различитом броју димензија, посебно у три димензије када називамо то запремином.