Још један доказ Питагорине теореме

У случају да нисте приметили, ја сам доста опседнут радом са што више доказа Питагорине теореме, колико год могу. Па, урадимо још један. Па као што сви ти докази почињу, конструишимо себи правоугли троугао. Па, ја ћу га конструисати тако да његова хипотенуза буде доле. Дакле, ово је хипотенуза мог правоуглог троугла. Покушаћемо да га нацртамо великог колико је могуће, да имамо простора да радимо с њим. Дакле ово ће бити моја хипотенуза. А онда да кажемо ово је дужа страница која није хипотенуза, страница која није хипотенуза. Можемо имати две странице које су једнаке. Али, ја ћу је само нацртати да изгледа мало дуже. Назовимо ту дужину странице а. А онда нацртајмо ову страницу овде. То мора бити правоугли троугао. Па можда то иде баш тамо. Ова страница је дужине b. Хајде да продужим дужину за мало. Дакле, ово дефинитивно личи на правоугли троугао. А ово је наш угао од 90 степени. Па, прва ствар коју ћу урадити је, узећу овај троугао и затим га заротирати супротно од кретања казаљки на часовнику, за 90 степени. Дакле, ако га заротирам за 90 степени, ја ћу га буквално заротирати овако и нацртати још једну његову потпуно сложену верзију. Дакле, ја ћу га ротирати за 90 степени. А, ако ја урадим то, хипотенуза би онда "села" усправно. Па, учинићу најбољи покушај да је нацртам приближно, да одмерим колико год могу, од ока. Дужина ове странице ће сад изгледати овако некако. Ово ће, заправо, бити паралелно са овим овде. Па, дозволите ми да погледам колико добро то могу нацртати. Дакле, ово је страница дужине а. И, ако смо се бринули, ово би било 90 степени. Ротација између одговарајућих страница биће баш 90 степени, у сваком случају. Ово ће бити 90 степени. Ово ће бити 90 степени. Нацртајмо сад страницу b. Дакле, то ће изгледати тако некако, или, страница која је дужине b. И ово, па, прави угао је овде. Дакле, ја сам ротирао ово за 90 степени супротно од кретања казаљки на часовнику. Сад, оно што желим да конструишем је паралелограм. Конструисаћу паралелограм, у суштини, па, дозволите ми да означим. Дакле, ово је висине c, управо овде. Дозволите ми да то урадим белом бојом. Ово је висина c. Е сад, оно што желим да урадим је да пођем од ове тачке и подигнем c, такође. и подигнем c, ... подигнем c, такође. Сад, па, ово је висина c, такође. Па, шта је та дужина? Колика ће дужина овде, од ове тачке до ове тачке бити? Колика ће ово дужина бити? Добро, помало индиције, ово је паралелограм. Ова права овде ће бити паралелна овој правој. Задржано је исто растојање. И пошто се помера за исто растојање дуж x , односно, у хоризонталном правцу и вертикалном правцу, ово ће бити иста дужина. Дакле, ово ће бити дужина а. Сад, следеће питање које имам за вас је, колика је површина овог паралелограма који сам управо конструисао? Добро, да размислим о томе, хајде да прецртам овај део шеме, па ће овај паралелограм бити положен. Дакле, ово је дужина а. Дакле, ово је дужина а. Ово је дужина, ово је дужина с. Ово је дужина с. Па, ако погледате овај део овде, то вам даје идеју. Висина овог паралелограма... Користићу зелену боју. Висина паралелограма је дата овде. Ова страница је нормална на основицу. Дакле, висина паралелограма је а, такође. Па, колика је површина? Добро, површина паралелограма је управо основица пута висина. Дакле, површина паралелограма овог овде ће бити а на квадрат. а на квадрат. Хајде сад да урадимо исто. Али, ротирајмо наш почетни правоугли троугао. Ротирајмо га на други начин. Па, ротирајмо га за 90 степени у смеру казаљки на часовнику. А овог пута, уместо да окрећемо око ове тачке, окретаћемо око ове тачке овде. Дакле, шта ћемо добити? Па, страница дужине с, ако је ротирамо овако, она ће завршити управо овде. Трудићу се да нацртам најприближније. Дакле, ова страница има дужину с. Сад, страница дужине b ће се преместити и изгледати овако некако. Ово ће бити паралелно са овим. Ово ће бити прав угао. Па, хајде да га тако нацртам . Ово изгледа прилично добро. А онда, страница дужине а, страница дужине а, ће бити овде. Страница дужине а, ће бити овде. Дакле, ово је а. А онда, ово, управо овде је b. И желим да ово b буде плаво. Па, дозволите ми да обојим b у плаво. А, онда, овај угао, када смо га ротирали, сместиће се овде. Сад, урадимо исту вежбу. Хајде да конструишемо паралелограм, баш овде. Дакле, ово је дужина с. Ово је дужина с, такође. Но, истом логиком коју смо овде користили, ако је ово дужина b, ова дужина је b, такође. Ово су паралелне праве. Добићемо иста растојања на хоризонталном правцу. Исто ће бити у вертикалном правцу. Знамо то, пошто су оне паралелне. Дакле, ово је дужина b, овде доле. Ово је дужина b горе. Сад, колика је површина овог пралелограм тамо? Колика ће бити површина тог паралелограма? Добро, још једном, да боље видимо то, можемо нацртати да лежи на подлози. Дакле, ово је та страница. Затим, имате још једну страницу овде. Оне обе имају дужину b. И, имате страницу дужине с. Па, ово је с. Ово је с. Колика је његова висина? Добро, видите је овде. Његова висина је дужина b, такође. То нам је дато тамо. Знамо да је ово 90 степени. Имали смо ротацију за 90 степени. Па, ово је како смо конструисали ове ствари. С обзиром на то, површина паралелограма је само база пута висина. Површина паралелограма је b на квадрат. Па сад, ствари постају интересантније. И оно што ћу урадити, копираћу и налепити овај део овде, пошто је ово, по мом мишљењу, најинтересантнији део шеме. Хајде да видим колико добро могу обележити то. Дакле, хајде да селектујем овај део овде. Па, хајде да копирам. А затим ћу га спустити доле. А онда, хајде да га налепим, да га налепим. Дакле, ова шема коју смо конструисали овде, то је прилично јасно колика је површина ове комбиноване шеме. И хајде да обришем неке његове делове. Желим да урадим то црним, да га чистим.. Па, хајде да очистим ово, па смо заиста добили део на који желимо да се фокусирамо. Дакле, чишћење овог, па чишћење овог, чишћење овог овде. А, заправо, хајде да обришем ово доле овде, такође, мада знамо да је ово била дужина с. И, заправо, нацртаћу га овде. Ово је било од наше почетне конструкције. Знамо да је ова дужина с. Знамо да је ово висина с. Знамо да је ово овде доле с. Но, моје питање за вас је, колика је површина овог комбинованог облика? Добро, то је само а на квадрат плус b на квадрат. Хајде да напишем то доле. Површина је само а на квадрат плус b на квадрат, површина та два паралелограма. Сад, како би можда могли реаранжирати делове овог облика тако да то можемо изразити преко с? Добро, можда вам је ово искочило кад сам нацртао ову праву овде. Желим да урадим то белим. Ми знамо да је овај део овде дужине с. Ово потиче од наших оригиналних конструкција. Упс... Изгубио сам своју шему. Ово је дужина с. Ово је дужина с. А онда, ово овде је дужина с. И, дакле, оно што можемо урадити да добијемо овај горњи правоугли троугао, који је потпуно подударан са нашим почетним правоуглим троуглом, и померили га доле. Па, сетите се, цела површина, укључујући овај горе десно троугао, је а на квадрат плус b на квадрат. Но, ми смо искључили овај део овде доле, који је био наш почетни троугао. Но, шта се дешава ако узмемо тај? Па, хајде да га заиста исечем. А затим, хајде да га налепим. А све што радим је, померам овај троугао овде доле. Дакле, сад то изгледа овако. Дакле, ја сам само реаранжирао површину која је била а на квадрат, b на квадрат. Па, ова цела површина од ових целих квадрата је још а на квадрат плус b на квадрат. а на квадрат је ова површина овде. То је пре био паралелограм. Ја сам само померио овај део паралелограма доле. b на квадрат је ова цела површина баш овде. Добро, колико ће то бити изражено преко с? Добро, знамо да је ова цела ствар квадрат с са с. Дакле, површина преко с је само с на квадрат. Па, а на квадрат плус b на квадрат је једнако с на квадрат. И, ми имамо, још једном, доказану Питагорину теорему.