If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако сте иза веб филтера, молимо, побрините се да домени *.kastatic.org и *.kasandbox.org буду одблокирани.

Главни садржај
Текуће време:0:00Укупно трајање:9:03

Транскрипт снимка

... Сада ћу урадити доказ који приписујемо Индијском математичару, Баскари, из времена 12. века. Дакле, оно што ћемо урадити јесте да ћемо почети са квадратом. Па, дајте да видим да ли могу нацртати квадрат. Нацртаћу га укошеним под неким углом, само из разлога што мислим да ће ми то малчице олакшати. Па, дозволите ми да дам све од себе да нацртам нешто што пристојно изгледа као квадрат. Опростите ми ако то није баш нагнут квадрат. Дакле, то изгледа прилично добро. И претпостављам да је то квадрат. Дакле, ово је прав угао. Ово је прав угао. То је прав угао. То је прав угао. Претпостављам да су дужине свих ових страница једнаке. Па, претпоставимо да су оне све дужине с. Записаћу то у жутој боји. Значи све ове странице квадрата су дужине с. А сада ћу конструисати четири троугла унутар овог квадрата. И начин на који ћу ја урадити то јесте да ћу извршити пропадање. Дакле, одавде идем право доле, И спустићу праву право на доле и нацртати троугао који изгледа овако. Дакле, идем право доле. Овде, идем попреко. И онда пошто је ово право доле а ово је право попреко, знамо да је ово прав угао. Затим из овог темена нашег квадрата, идем право на горе. И пошто је ово право на горе, а ово је право попреко, знамо да је ово прав угао. И онда из овог темена тачно овде, идем право хоризонтално. Претпостављам да је то шта радим. И онда знамо да ће ово бити прав угао, и онда знамо да ће ово бити прав угао. Значи, видимо да смо конструисали, од нашег квадрата, конструисали смо четири правоугла троугла. И у средини имамо нешто што, минимално, делује као правоугаоник или могуће је квадрат. Нисмо то доказали још да је ово квадрат. Даље, следећа ствар о којој желим да размислим је, да ли су ови троуглови подударни. Дакле, они сви дефинитивно имају исту дужину својих хипотенуза. Свих хипотенуза... Не знам, множина речи хипотенуза је хипотенузе, хипотенузе. Све имају исту дужину, с. Страница насупрот правог угла је увек дужине, с. Значи, ако можемо показати да су сви одговарајући углови једнаки, тада знамо да су они подударни. Ако имате нешто где су сви углови једнаки и имате страницу која је такође... одговарајућа страница је такође подударна, тада су троуглови подударни. И можемо показати да, ако претпоставимо да је овај угао тета. Тада овај овде угао мора бити 90 минус тета пошто су они комплементарни. Знамо то јер они комбиновано образују овај угао квадрата, овај прав угао. А ово је 90 минус тета. Знамо да овај угао и овај угао морају збирно бити 90 пошто само имамо 90 када одузмемо прав угао од 180. Дакле, знамо да ово мора бити тета. А ако је то тета, тада је то 90 минус тета. Мислим да видите где ово води. Ако је то 90 минус тета, ово мора да буде тета. А ако је то тета, тада је ово 90 минус тета. Ако је ово 90 минус тета, тада је ово тета, и онда ово мора бити 90 минус тета. Дакле, видимо у сва четири ова троугла, три угла су тета, 90 минус тета и 90 степени. Дакле, сви они имају потпуно једнаке углове, значи, минумум су слични, а њихове хипотенузе су једнаке. Дакле, знамо да су сва четири ова троугла потпуно подударни троуглови. Дакле, са нашом претпоставком, хајде да претпоставимо да дуже странице ових троуглова, да су ове дужине, b. Значи, дужа страница ових троуглова претпоставићу. Значи, ова дужина овде, назваћу то b. И претпоставимо да је краћа страница, дакле, ово растојање тачно овде, ово растојање тачно овде, ово растојање тачно овде, да су ово све... ово растојање тачно овде, да су она дужине, а. Дакле, ако бих требао да изразим ову овде висину, ова висина је дугачка... та је дужине а. Сада ћемо урадити нешто интересантно. Па, прво, размислимо о површини целог квадрата. Колика је површина целог квадрата по с? Па, то је прилично једноставно. То је квадрат с са с. Тако да је површина овде једнака с на квадрат. Сада, оно што ћу урадити јесте измешати ова два троугла и онда доћи до површине те друге фигуре преко а и b, и надам се да ће нас то довести до Питагорине теореме. А да урадимо то, само да не игубимо нашу почетну тачку јер је наша почетна тачка интересантна, дозволите да копирам и налепим ову целу фигуру. Дакле, не желим да испадне. Дакле, дозволите да копирам и налепим ово. Копирам и налепим. Значи, ово је наш полазни дијаграм. И оно што ћу сада урадити... и заправо, дајте да разјасним то. Уредите јасно. Сада ћу померити. Ово је забавни део. Померићу овај троугао овде горе лево. Померићу га испод овог троугла доле десно. А утадићу то копирањем и налепивањем. Па, да видимо, колико... па, начин на који сам нацртао то, то није тако... па, то је можда поента. Желим да задржим малчице... дакле, дозволите да копирам, или заправо, дозволите ми да исечем то, и онда налепим то. Значи, тај троугао ћу да углавим тачно тамо. И дајте да нацртам линије које сам управо избрисао. Па, само да будем јасан, имали смо линију тамо, и имали смо такође ову тачно овде. А ово је било право на горе и на доле, а ове су биле праве од странице до странице. Сада, дакле, померио сам овај део овде доле. Значи, померио сам то тамо доле. А сада ћу померити овај горњи правоугли троугао доле лево. Дакле, само измештам потпуно исту површину. Па, заправо, дајте да обухватим целу фигуру најбоље што могу. Дакле, дозволите да исечем и дозволите да налепим. Померићу је тачно овде. Док то чиним, некако сам изгубио под, па дајте да поново нацртам под. Дакле, само сам премстио то овде. Дакле, овај део, овај троугао...дајте да га обојим...је сада тамо. А овај троугао је сада тачно овде. Тај централни квадрат, то је квадрат је сада тачно овде. Па, надам се да можете проценити како смо га испремештали. Сада, питање за вас гласи, како можемо изразити површину ове нове фигуре, која поседује потпуно исту површину као стара фигура? Само сам преместио њене делове. Како можемо изразити ово преко а и b? Па, кључно је овде препознати дужину ове доње странице. Колика је дужина ове доње странице, овде? Дужина ове доње странице...значи, ова дужина тачно овде је b, ова дужина овде је а. Значи, дужина ове целе доње је а плус b. Па, то је само по себи интересантно. И оно што можемо уочити је да ова дужина овде, што је потпуно иста ствар као ова дужина овде, је такође била а. Дакле, можемо конструисати квадрат а са а. Дакле, можемо конструисати квадрат а са а. Дакле, овај квадрат тачно овде је а са а, и онда он има површину а на квадрат. Дозволите да нацртам то у боји коју заиста можете приметити. Значи, овај има површину а на квадрат. А онда колика је површина онога шта преостаје? Па, ако је ово дужине а, тада је ово дужине а такође. Ако је ово доле све а плус b, тада знамо да оно што нам остаје након одузимања а мора да буде b. Ако је ово све а плус b, ово је а, тада је ово овде b. И онда је преостало од ове новодобијене фигуре, ова нова фигура, све што сам осенчао овде, ово је само квадрат b са b. Значи, површина је b на квадрат. Дакле, површина целе ове фигуре је а на квадрат плус b на квадрат, што је срећа по нас, једанко са површином овог израженог преко с, јер је потпуно иста фигура, само испремештана. Дакле, то ће бити једнако с на квадрат. И све функционише, и Баскара нам је дао веома фин доказ Питагорине теореме.