Формула за удаљеност

... У овом снимку ћемо научити како да пронађемо растојање између било које две тачке у нашем х,у... у нашем х,у координатном систему и видећемо да је то заправо само примена Питагорине теореме. Па хајде да почнемо са примером. Рецимо да имам тачку, урадићу је у тамнијој боји да би је видели на папиру за цртање. Рецимо да имам тачку 3 зарез негативно 4. Дакле, да бих је нацртао, урадио бих 1, 2, 3 и онда идем доле 4. 1, 2, 3, 4, баш овде, је 3 зарез негативно 4. И рецимо да такође имам тачку 6 зарез 0... 6 зарез 0. Значи 1, 2, 3, 4, 5, 6, и онда нема померања у у-смеру. Просто седимо на х-оси. у-координата је 0, па је то 6 зарез 0. И оно што хоћу да пронађем је растојање између ове две тачке. Колико је удаљена ова плава тачка од ове наранџасте тачке? И у првом тренутку, реагујете: "Вау, Сал, мислим да никад нисмо видели било шта о томе како да решимо растојање као ово. И зашто уопште причаш о Питагориној теореми? Не видимо троугао ту!" А ако не видите троугао, дајте да га нацртам за вас. Дајте да нацртам троугао. Дајте да нацртам овај троугао баш овде, просто тако. Заправо, урадићу у неколико боја овде, само да стварно разјасним ствари. Дакле, ето нашег троугла. И можете одмах препознати да је ово правоугли троугао. Ово је прав угао овде. Основица иде право слева на десно, десна страница иде право горе и доле, значи имамо посла са правоуглим троуглом. Дакле, кад би могли да пронађемо дужину основице и колика је ова висина, могли би да употребимо Питагорину теорему да пронађемо ову дугачку страницу, страницу супротну од правог угла, хипотенузу. Ово овде, растојање... растојање је хипотенуза овог правоуглог троугла. Дајте да то запишем. Растојање је једнако хипотенузи... хипотенузи овог правоуглог троугла. Па дајте да нацртам то мало веће. Дакле ово је хипотенуза овде. И онда имамо страницу са десне стране, страницу која иде право горе и доле. И онда имамо нашу основицу. Сада, како ћемо да пронађемо... хајде да назовемо ово d за растојање. То је дужина наше хипотенузе. Како ћемо да пронађемо дужину ове странице која иде горе и доле и основице овде? Па, хајде да посматрамо прво основицу. Колико је ово растојање? Могли би чак да избројите са папира за цртање, али овде, где је х једнако... дајте да урадим то зеленом. Овде смо у х је једнако 3, а овде смо у х је једнако 6, јел тако? Једноставно се крећемо директно напред. Ово је исто растојање као и ово растојање овде. Значи да би пронашли растојање, то је буквално крајња х тачка. А могли би заправо да идете и другим путем, зато што ћете квадрирати све, па није важно ако добијете негативне бројеве, дакле ово ће бити 6... растојање ће бити 6 минус 3, јел тако? 6 - 3. То је ово растојање овде, што је једнако 3. Дакле, пронашли смо основицу. И само да би се подсетили, то је једнако промени по х. То је било једнако вашем крајњем х минус ваше почетно х. 6 мминус 3. Ово је наше делта х. Сада, потпуно истим начином резоновања, ова висина овде ће бити ваша промена по у. То ће бити промена по у. Овде горе, ви сте на у је једнако 0. То је нешто где завршавате. То је ваша виша у тачка. А овде сте на у је једнако негативних 4. Па је промена по у једнак 0 минус негативних 4. Узимам само већу у-вредност минус мања у вредност, већа х-вредност минус мања х-вредност. Али видећете да ћемо то квадрирати за секунд, значи чак и да смо урадили обрнуто, добили би негативан број, али би и даље добили исти одговор, дакле, ово је једнако 4. Значи, ова страница је једнака 4. Можете чак и да пребројите на папиру за цртање ако хоћете. А ова страница је једнака 3. И сада можемо да урадимо Питагорину теорему. Ово растојање је квадрат растојања. Будите пажљиви. Квадрат растојања ће бити једнак овом делта х квадрираном, квадрату промене по х плус квадрат промене по у... плус квадрат промене по у. Ово није ништа фенси. Понекад људи ово зову формулом растојања. То је само Питагорина теорема. Квадрат ове странице плус квадрат ове странице је једнако квадрату хипотенузе, зато што је ово правоугли тругао. Па хајде да је попунимо овим бројевима, бројевима које имамо у рукама. Значи квадрат растојања ће бити једнак делта х квадрирано је 3 на квадрат плус делта у квадрирано плус 4 на квадрат, што је једнако 9 плус 16, што је једнако 25. Значи растојање је једнако... дајте да то напишем... d на квадрат је једнако 25. d, наше растојање, је једнако... не желите да извадите негативни квадратни корен, зато што не можете имати негативно растојање. Дакле једини важећи корен, позитивни квадратни корен од 25, што је једнако 5. Значи, ово растојање овде је 5. Или ако погледамо ово растојање овде, то је и био почетни проблем. Колико је удаљена ова тачка од ове тачке? Она је 5 јединица удаљена. Дакле, оно што видите овде, што зову формулом растојања, је само Питагорина теорема. И тако сте изложени различитим начинима на које ћете видети формулу растојања, некад ће људи рећи: "Ох, ако имам две тачке, ако имам једну тачку..." Хајде да је назовемо х1 и у1, па то је само одређена тачка. И рецимо да имам још једну тачку која је х2,у2. Некад ћете видети ову формулу, да је растојање... видећете је на другачије начине. Али видећете да је растојање једнако... и оно изгледа као да је ово веома компликована формула, али желим да видите да је ово само Питагорина теорема. Видећете да је растојање једнако х2 минус х1... минус х1 на квадрат плус у2 минус... минус у1 на квадрат. Видећете да је ово написано у многим уџбеницима као формула растојања. Формула растојања. А потпуно је губљење времена да је памтите зато што је она заправо Питагорина теиорема. Ово је ваша промена по х. И стварно није важно које х ћете одабрати да буде прво или друго, зато што чак и да добијете негативну вредност, када је квадрирате, то негативно нестаје. Ово овде је ваша промена по у. Дакле само каже да је квадрат растојања... сетите се, ако квадрирате обе стране ове једначине, корен ће нестати и ово ће бити квадрат растојања је једнако квадрату овог израза, делта х на квадрат, промена по х... делта значи "промена по"... делта х на квадрат плус делта у на квадрат. Не желим да вас збуним. Делта у само значи промена по у. Требало је вероватно то да кажем раније у овом снимку. Али хајде да је применимо у још неколико, и просто ћу бирати неке тачке насумично. Рецимо да имам тачку, да видимо, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Негативних 6 зарез негативних 4. Негативних 6 зарез негативних 4. И рецимо да хоћу да нађем растојање између ње и 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и тачке 1,7, значи хоћу да нађем ово растојање овде. Дакле, потпуно је иста идеја. Само употребимо Питагорину теорему. Пронаћићете ово растојање, које је наша промена по х, ово растојање, што је наша промена по у. Квадрат овог растојања плус квадрат овог растојања ће бити једнак квадрату овог растојања. Па хајде да то урадимо. Дакле наша промена по х, само узмете.. знате, нема везе. Уопштено, хоћете да узмете већу х вредност минус мања х вредност, али можете урадити како год. Дакле, можемо да напишемо да је квадрат растојања једнак... колика је наша промена по х? Па, хајде да узмемо веће х минус мање х, 1 минус негативних 6. 1 минус негативних 6, на квадрат, плус промена по у. Веће у је овде. Оно је 7. 7 минус негативних 4. 7 минус негативних 4 на квадрат. И просто сам одабрао ове бројеве насумице, па вероватно неће испасти превише округло. Добијамо да је квадрат растојања једнак 1 минус негативних 6. То је 7, 7 на квадрат, и видећете чак и овде ако пребројите. Идете 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. То је тај број овде. То је колика је ваша промена по х. Плус 7 минус негативних 4. То је 11. То је ово растојање овде, и можете да га пребројите у квадратима. у квадратима. Идемо горе 11. Просто узимамо 7 - негативних 4 да би добили растојање од 11. Значи, плус 11 на квадрат је једнако d на квадрат. Дакле... дајте само да извадим калкулатор. Значи, растојање... ако узмемо 7 на квадрат плус 11 на квадрат је једнако 170, растојање ће бити квадратни корен из овога, јел тако? d на квадрат је једнако 170. Па хајде да извадимо квадратни корен из 170 и добијамо 13,0... отприлике 13,04. Дакле, ово растојање овде које смо покушали да пронађемо је 13,04. Надам се да је ово било корисно.