Интуиција иза негативног степена

Питали су ме за разлог зашто је, рецимо, а на минус б једнако 1 кроз а на б. И пре него што вам објасним разлог, желео бих да схватите да је ово заправо дефиниција. Не знам... Математику није измислила само једна особа. То је био, знате, скуп људи. Али дефинисали су ово. И дефинисали су ово са разлогом који ћу вам показати. Па, ово што ћу вам показати је један од разлога, и онда ћемо видети да је ово добра дефиниција, зато што када научите правила степеновања, сва остала правила степеновања остају иста и за негативне степене, и када имате степен 0. Хајде да узмемо позитивне степене. Они су веома једноставни, рекао бих. Дакле позитивни степени, имате а на први, а на квадрат, а на куб, а на четврти. Колико је а на први? а на први, рекли смо, је а, и онда да бисмо добили а на квадрат, шта смо радили? Множили смо са а, зар не? а на квадрат је само а пута а. И онда да добијемо а на куб, шта бисмо радили? Опет смо множили са а. Затим да бисмо добили а на четврти, шта смо радили? Опет смо множили са а. Или, други начин, који можете замислити, је када смањите степен, шта тада радимо? Множимо са 1 кроз а, односно делимо са а. И слично, опет смањујете, делећи са а. И да би дошли од а на квадрат до а на први, делите са а. Хајде да користимо овај процес да схватимо шта је а на 0. Ово је први тежак пример. Значи а на 0. Ви сте проналазач, оснивач математике, и морате да дефинишете колико је а на 0. И, знате, можда је 17, можда је пи. Не знам. На вама је да одлучите колико је а на 0. Али зар не би било лепо ако би а на 0 задржао онај образац. Да сваки пут када смањите степен, делите са а, јел тако? Дакле, ако идете од а на први до а на 0, зар не би било лепо ако бисмо само поделили са а? Хајде онда то и да урадимо. Ако кренемо од а на први, што је само а, и поделимо са а, јел тако, значи онда ћемо само... онда ћемо само поделити то са а. Колико је а подељено са а? Па, то је само 1. То је где дефиниција... односно, то је један од разлога због ког нешто на степен 0 јесте једнако 1. Зато што када узмете тај број и поделите га са самим собом још један пут, добијате само 1. И то је веома разумљиво, али сада хајде да закорачимо у негативне степене. Дакле колико би треба да буде а на -1? Па, још једном, добро је ако можемо да се држимо образца, Где сваки пут кад одлучимо да смањимо степен само га поделимо са а. Хајде да поделимо а поново, значи 1 кроз а. Узећемо а на 0 и поделити то са а. а на 0 је 1, дакле колико је 1 подељено са а? То је 1 кроз а. Сада, хадје да урадимо то још једном, и мислим да ћете онда схватити образац. Па, мислим да сте вероватно већ схватили. Колико је а на -2? Ми желимо... знате, било би без везе да сада мењамо образац. Сваки пут када смањимо степен, делимо са а. Да би од а на -1 дошли до а на -2, хајде да поново поделимо са а. И шта добијамо? Ако узмемо 1 кроз а и поделимо са а, добијамо 1 кроз а на квадрат. И можете понављати овај образац скроз у лево, и добили бисте а на -б је једнако 1 кроз а на б. Надам се, да сте стекли неки осећај зашто је тако... па, као прво, знате, велика је мистерија, нешто на степен 0, зашто је то једнако 1? Прво, имајте на уму да је то само дефиниција. Неко је одлучио да треба да буде једнако 1, и имали су добар разлог. И тај добар разлог је то што су желели да одрже онај образац. И то је исти разлог зашто су тако дефинисали и негативне степене. И оно што је додатно страва у вези тога је што не само да се држи образца када смањујете степен - делите са а, или када повећавате степен - множите са а, већ, и као што ће те видети на снимцима о правилима стеновања - <b>сва</b> правила важе. Сва правила степеновања су доследна са овом дефиницијом неког броја на степен 0 и ова дефиниција неког броја на негативан степен. Надам се, да вас ово није збунило и да вам је дало неку идеју и разјаснило нешто, што је веома нејасно када учите први пут.