Мерење запремине као површине помножене дужином

... Имам ову фигуру овде. Можете је нсзвати правоугаона призма, или квадар. И желим да измерим њену запремину. А дефинишем своју јединичну коцку као 1 центиметар са 1 центиметром са 1 центиметром коцкицу. Она има ширину од 1 центиметар, дубину од 1 центиметар и висину од 1 центиметар. И зваћу то, ово је једнако 1 кубни центиметар. Дакле, желим да измерим запремину овог у кубним центиметрима. Већ смо видели да то можемо урадити рекавши: "Хеј, колико ових кубних центиметара може стати унутар ове фигуре без њиховог преклапања на било који начин?" Значи, да смо имали ово у нашим рукама, могли бисмо некако да покушамо да га окрећемо и да покушамо да пребројимо, али тешко је видети овде пошто су ту и неке коцкице које не можемо видети иза ових које видимо. Тако да ћу испробати различите тактике за то. Дакле, прво, размислимо о томе шта можемо опазити. Тако видимо да је ова, ако меримо њене различите димензије, њена ширина, она је 2 јединице дужине широка. Значи, она је 2 центиметара широка. Она је 4 наше јединице дужине... дефинишемо нашу јединицу дужине као центиметар... она је 4 наше јединице дужине висока. Дакле, ова димензија управо овде је 4 центиметра. И она је 3 наше јединице дужине дубока. Значи, ова димензија управо овде је 3 центиметра. Дакле, желим да истражим да ли некако можемо да употребимо ове бројеве да бисмо открили колико ових кубних центиметара ће стати унутар ове фигуре. А први начин на који ћу размишљати о томе јесте тако што ћу посматрати исечке. Дакле, узећу исечак, узећу овај исечак управо овде, од наше полазне фигуре. И размислимо о томе како коришћењем ових бројева, можемо одредити колико јединичних коцки има у том исечку. Па, ово је 2 центиметра широко и 4 центиметра високо. То је 4 центиметара високо. И можда бисте рекли: "Хеј Сал, могу просто пребројати ове ствари. Могу убацити 8 коцкица овде." Али шта да их је био велики број тамо? Било би много теже. И можете приметити да могу просто помножити ширину пута висину, и да ће ми то дати површину ове стране управо овде. А она има дубину од само 1, тако да ће ми то такође дати број коцкица. Па хајде да то урадимо тако. Одредимо површину овде. Па, то ће бити 2 центиметра пута 4 центиметра. 2 центиметра пута 4 центиметара. То нам даје површину овога. А онда, ако желимо да одредимо број коцкица, па, то ће такође бити једнако са бројем квадратића. Значи, имамо површину једнаку са 8 квадратних центиметара и број коцкица је 8. А ако желимо број коцкица у целој ствари, само треба да помножимо са бројем исечака. И видимо да требамо једно, два, три исечка. Ово је три центиметра дубоко. Тако да ћемо то помножити са 3. Значи, узели смо површину једне стране. Узели смо површину ове стране управо овде. И онда смо помножили то са дубином, и то нам у суштини даје број коцкица пошто површина ове стране даје број коцкица у једном исечку које је 1 коцкицу дубоко. И онда бисмо требали да имамо 3 исечка попут тога. Дакле, требали бисмо имати да је ово 1 исечак. Требали бисмо да имамо још један исечак... још један исечак и онда још један исечак како би саставили полазну фигуру. Дакле, 2 центиметра пута 4 центиметра пута 3 центиметра ће нам дати нашу запремину. Да видимо да ли то функционие. 2 пута 4 је 8 пута 3 је 24. Дајте да урадим то у тој розе боји. 24 центиметара кубних, или могу рећи кубних центиметара. Значи, то је један начин да измеримо запремину. Сада, овде постоји више различитих страна. Десило се да сам узео ову страну, али могао сам да изаберем другу. Могао сам да изаберем ову страну управо овде и да урадим потпуно исту ствар. Дакле, изаберимо ову страну и урадимо потпуно исту ствар. Ова страна је 3 центиметра... 3 центиметара са 4 центиметара... са 4 центиметара. Дајте да урадим то у тој плавој боји... мењање боје је увек тешко... са 4 центиметара. Значи, њена површина ће бити 12 квадратних центиметара... то Је површина ове стране. А 12 је такође број коцкица којих имамо у том исечку. И онда, колико нам исечака попут овог треба како би саставили полазну фигуру? Па, треба нам... то је 2 центиметра дубоко, ово је само 1 центиметар дубоко, тако да нам требају два таква како би саставили полазну фигуру. Дакле, можемо у суштини пронаћи површину те прве стране која је била 3 пута 4... 3 пута 4, и онда помножити то са ширином, пута колико вам ових исечака треба. Дакле, пута 2. И још једном, ово ће бити 3 пута 4 што је једнако 12, пута 2 је једнако 24. Нисам написао јединице овај први пут. Али то ће нам дати број колико кубних центиметара имамо, колико јединичних коцкица можемо сместити. И још једном, ово је 24 кубних центиметара. И можете замислити, можете урадити исту ствар, не са овом страном, не са овом страном, већ са овом горњом страном. Горња страна је 3 центиметра дубока. 3 центиметра дубока. И 2 центиметра широка. 2 центиметра широка. Значи, могли бисте гледати на њену површину, односно, њена површину ће стварно бити 3 центиметара пута 2 центиметара. Дакле, та површина је... дајте да урадим то у истој боји... 3 центиметара пута 2 центиметара... 2 центиметра, што је 6 квадратних центиметара. И то вам такође говори да ће тамо бити 6 коцкица у овом 1 коцкица дубоком исечку. И колико вам ових исечак треба? Па, имате... цела ова ствар је 4 центиметара висока, а овај део је само 1 центиметар, тако да ће вам требати четири таква. Дакле, то је 2... 2, 3... 3... покушавам да нацртам ово колико год уредно могу... и 4. Требаће вам 4 од ових. Дакле, да бисте одредили целу запремину, требаћете да узмете то и помножите то пута 4 центиметара. Дакле, још једном, 3 пута 2 једнако је 6 квадратних центиметара, пута 4 центиметара једнако је 24 кубних центиметара. Тако да није важно којим редоследом множите ове. Можете на ово гледати као на површину једне стране која је помножена са дубина. Или можете узети површину друге стране и помножити то са висином, или са ширином, или са дубином. И то су све могући сценарији. Али оно шта то показује јесте да није важно у ком редоследу множимо ове три димензије. Могли бисте узети 2 пута 4 прво и онда помножити то са 3. Или да узмете 3 пута 4 прво и онда помножите то са 2. И, или бисте могли узети 2 пута 3 прво и онда помножити то са 4. Када множите, није битно којим редоследом то и радите. И тако, ако имате квадар попут овог и знате његове три димензије, знате да је 2 центиметара широк, 3 центиметара дубок и 4 центиметара висок, можете рећи: "Хеј, запремина ове фигуре, број јединичних коцки, број кубних центиметара који могу стати, ће бити 2 центиметара... 2 центиметра пута 4 центиметара... пута 4 центиметра пута 3 центиметара", што смо већ три пута видели да је 24 кубних центиметара.