Облици и карактеристике квадратних функција

... Имам овде функцију дефинисану као х на квадрат минус 5х плус 6. И оно о чему желим да размислимо јесу други облици које можемо записати ову функцију да, рецимо, желимо да одредимо нуле ове функције. Да смо желели да одредимо где ова функција сече х-осу, у који облик бисмо је ставили? И онда, други облик за могуће проналажење које су минималне вредности ове функције. Видимо да имамо позитиван коефицијент код х на квадрат монома. Ово ће бити парабола окренута на горе. Али која је тачка минимума ове функције? Или чак и боље, шта је теме ове параболе управо овде? Па, ако функција изгледа овако, можемо употребити један облик функције да одредимо где она сече х-осу. Онда, где она сече х-осу? И можда је можемо трансформисати да добијемо други облик да одредимо тачку минимума. Која је ово овде тачка, за ову функцију? Чак ни не знам да ли функција изгледа овако, Дакле, охрабрујем вас да паузирате овај снимак и покушате да трансформишете ово у ове различите облике. Па, хајде да порадимо на томе. Дакле, у циљу да одредимо корене, најлакша ствар коју могу смислити је покушати да раставимо овај квадратни трином који је искориштен да се дефинише ова функција. Значи, можемо размислити, о, добро, смислити два броја чији производ је плус 6, а чији збир је минус 5. Па, пошто је њихов производ позитиван, знамо да имају исти знак. И ако имају исти знак, али добијемо негативну вредност, то значи да они оба морају бити негативни. Па да видимо... минус 2 пута минус 3 је плус 6. Минус 2 плус минус 3 је минус 5. Дакле, можемо преписати f од х. И онда ми дозволите да запишем ово на овај начин. Можемо записати f од х да је једнако х минус 2 пута х минус 3. Даље, како нам ово помаже да одредимо нуле? Па, у којој ситуацији је овај израз са десне стране, овај израз на десној страни је једнак 0? Па, то је производ ова два израза. Ако је неки од ових израза једнак 0, 0 пута било шта је 0. 0 пута било шта друго је 0. Значи, ово све ће бити 0 ако је х минус 2 једнако 0, или х минус 3 једнако 0. Додате 2 обема странама ове једначине. Добијете х је једнако 2, или х је једнако 3. Дакле, ово су две нуле за ову функцију, претпостављам да можете рећи. И можемо већ размислити о томе, малчице, у смислу скицирања тога. Па, ако имамо... Па, покушајмо да скицирамо ово. Дакле, ово је једнако 1. Ово је х је једнако 2. Ово је х је једнако 3 управо овде. Значи то је наша х-оса. То, можете рећи, је наше у је једнако f од х координате. И увиђамо да су пресеци овде и овде. Када је х једнако 2, ово је f од х је једнако 0. Када је х једнако 3, f од х је једнако 0. И можете заменити било коју од ових вредности у наш полазни израз. И видећете да ће вам то дати 0, пошто је то исто као то. Даље, шта за теме? У ком облику можемо записати овај полазни израз у циљу да изаберемо теме. Добро, већ смо малчице упознати са комплетирањем квадрата. А када комплетирате квадрат са овим изразом, то делује прилично добар начин размишљања о томе шта је минимална вредност ове функције. Па, хајде да урадимо то управо овде. Дакле, само ћу преписати то. Значи, добијемо f од х је једнако х на квадрат минус 5х. И само ћу ставити овде плус 6 тачно овде. И даћу себи неки простор, пошто, оно што треба да урадим, о чему желим да размислим, је додавање и одузимање исте вредности. Дакле, додаћу то овде, и одузећу то тамо. И могу урадити то пошто сам после само додао 0. Нисам променио вредност ове десне стране. Али желим да урадим тако да овај део који сам подвукао у овој магента боји, тако да овај овде део буде потпуни квадрат. И радили смо ово више пута када смо комплетирали квадрат. Охрабрујем вас да гледате ове снимке, ако вам је потребно малчице понављања. Али генерална идеја је да ће ово бити потпуни квадрат ако узмемо овај коефицијент управо овде. Узмемо минус 5. Узмемо 1/2 тога, што је минус 5/2, и квадрирамо то. Дакле, можемо записати ово као плус минус... колико је минус 5/2 на квадрат? Дакле, могао бих записати ово... минус 5/2 на квадрат. Па, ако квадрирамо негативан број, то ће само бити плус. Значи то ће бити иста ствар као 5/2 на квадрат. 5 на квадрат је 25. 2 на квадрат је 4. Дакле, ово ће бити плус 25/4. Плус 25/4. Даље, још једном, ако желимо да ова вредност буде тачна, треба да додамо исту вредност обема странама. Или, ако оперишемо на једној страни, ако додамо то тој страни, можемо само одузети то од те стране. И нисмо променили укупну вредност те стране. Дакле, додали смо 25/4 и одузели смо 25 кроз 4. Онда, колики је овај део овде? Шта ово постаје, део који сам подвукао у магента боји? Па, ово ће бити... цео разлог зашто смо ово довели на овај облик је да ово може бити х минус 5/2 на квадрат. И охрабрујем вас да проверите ово. И улазимо у више детаља о томе зашто узимамо 1/2 коефицијент овде и онда га квадрирамо, додајемо то тамо и онда одузимамо тамо, зашто то функционише? Радимо то у снимцима комплетирања квадрата. Али ове две ствари, можете проверити да су еквивалентне. Значи то је тај део. А сада само треба да упростимо 6 минус 25/4. Па, 6 може бити записано као 24/4. 24/4 минус 25/4 је минус 1/4, дакле, минус 1/4, само тако. Дакле, преписали смо нашу полазну функцију као f од х је једнако х минус 5/2 на квадрат минус 1/4. Даље, зашто је овај облик интересантан? Па, један начин да размишљамо о томе зашто ће овај део увек бити ненегативан. Минимална вредност овог дела у магента боји ће бити 0. Зашто? Пошто квадрирамо ово. Ако узимате нешто попут овог... а имамо посла са реалним бројевима... И квадрирате то, нећете бити у могућности да добијете негативну вредност. Код минималне вредности, ово ће бити 0. И онда то очигледно могу бити позитивне вредности, такође. Дакле, ако желимо да размислимо о томе када ово достиже своју минималну вредност... па, то достиже минималну вредност када квадрирате 0. А када квадрирате 0? Па, квадрирате 0 када је х минус 5/2 једнако 0, или када је х једнако 5/2 ако само желите да додате 5/2 обема странама те једначине. Дакле, ово достиже своју минималну вредност када је х једнако 5/2. А онда, колико је у, или колико је f од х када је х једнако 5/2? f од 5/2... и још једном, можете употребити било који од ових облика да израчунате за 5/2. Али, то је заиста лако у овом облику. Када је х једнако 5/2, овај моном овде постаје 0. 0 на квадрат, 0. Остаје вам само минус 1/4. Остаје вам само минус 1/4. Дакле, други начин да размишљате о томе је наше теме у тачки х је једнако 5/2, у је једнако минус 1/4. Дакле, х је једнако 5/2. То је исто као 2 и 1/2. Значи х је једнако 5/2. А у је једнако минус 1/4. Дакле, ако је то минус 1, 1/4 би било нешто тако. Значи то управо тамо је теме. То је тачка... дозволите ми да разјасним... то је тачка 5/2 запета минус 1/4. И оно шта је кул је, да смо управо употребили овај облик да одредимо тачку минимума, да одредимо теме у овом случају. А онда можемо употребити корене као две друге тачке да добијемо грубу процену како ће ова парабола изгледати. Дакле, интересантно... или предпостављам, из овог снимка, је да увидимо да можемо преписати ово у различитим облицима зависно од тога шта желимо да разумемо из ове функције.