Квадратна формула

... У овом снимку, изложићу вам нешто што је можда једна од барем пет најкориснијих формула у математици. И ако сте видели многе моје снимке, знате да нисам велики љубитељ памћења формула. Али саветујем вам да ову запатите са опоменом да такође запамтите како да је докажете, јер не желите да памтите нешто, а не знате одакле то долази. И са тим реченим, дозволите ми да вам покажем о чему говорим: то је образац за решавање квадратне једначине. И као што можете погодити, она служи за проналажење корена, или нула квадратне једначине. Па, пређимо на опште случајеве, а показаћу вам неке примере. Тако, рецимо да имам једну једначину у облику ах на квадрат плус bх плус с је једнако 0. Требало би да препознате ово. Ово је квадратна једначина где су а, b и с... Па, а је коефицијент код х на квадрат члана, или монома другог степена, b је коефицијент код х члана и онда с, је, можете замислити, коефицијент код х на нулти члана, или, то је константа. Сада, са тим датим имате општу квадратну једначину попут ове, образац за решавање квадратне једначине нам говори да су решења ове једначине х је једнако минус b плус или минус квадратни корен од b на квадрат минус 4ас, све то кроз 2а. И знам да вам тренутно то звучи збуњујуће и тешко да запамтите, али како стекнете много више праксе видећете да је то заправо прилично корисна формула да би пронашла неко место у вашој глави. И ви можете рећи, боже мој, ово је чудна формула, одакле она долази? А у следећем снимку ћу вам показати одакле она долази. А желим да прво навикнете на коришћење исте. Али она заиста произилази из комплетирања квадрата код ове овде једначине. Ако комплетирате квадрат овде, ви ћете заправо добити ово решење и то је та квадратна формула, овде. Па, применимо је на неке проблеме. Почнимо од нечега што смо могли раставити само да потврдимо да ће нам то дати исти одговор. Дакле, рецимо да имамо х на квадрат плус 4х минус 21 је једнако 0. Значи, у овој ситуацији...дозволите ми да запишем то у различитој боји ... а је једнако 1, тачно? Коефицијент код монома х на квадрат је 1. b је једнако са 4, коефицијент код х монома. И онда с је једнако минус 21, константа. И хајде да убацимо то у формулу, па, шта ћемо добити? Добијемо х, ово нам говори да ће х бити једнако минус b. Минус b је једнако минус 4... стављам знак минус испред тога... минус b плус или минус квадратни корен од b на квадрат. b на квадрат је 16, тачно? 4 на квадрат је 16, минус 4 пута а, што је 1, пута с, што је минус 21. Значи, можемо ставити 21 тамо испред, а тај негативан знак ће се поништити само тако са тим... Пошто је ово први пут да радимо то, дозволите ми да не прескачем превише корака. Дакле, минус 21, само да бисте могли видети како се уклапа и онда све то кроз 2а. а је 1, тако да је све то кроз 2. Онда, како се ово упрошћава, илити поједностављује? Дакле, добијемо х је једнако минус 4 плус или минус квадратни корен од... Да видимо, имамо минус пута минус, то ће нам дати плус. И имали смо 16 плус, да видимо , ово је 6, 4 пута 1 је 4 пута 21 је 84. 16 плус 84 је 100. То је фино. То је фини потпуни квадрат. Све то кроз 2, и онда ће ово бити једнако минус 4 плус или минус 10 кроз 2. Можемо поделити оба ова члана са 2, сада. Дакле, ово је једнако минус 4 подељено са 2 је минус 2 плус или минус 10 подељено са 2 је 5. Дакле, то нам говори да х може бити једнако минус 2 плус 5, што је 3, или х може бити једнако минус 2 минус 5 што је минус 7. Значи, образац за решавање квадратне једначине нам је чини се дао одговор за ово. Можете проверити да ово функционише, једноставном заменом тога, или чак можете покушати да раставите ово овде. Кажете, која два броја када их помножите добијете 21 а када их саберете добијете плус 4? Дакле, добили бисте х плус 7 пута х минус 3 је једнако минус 21. Приметите, 7 пута минус 3 је минус 21, 7 минус 3 је плус 4. Добили бисте х плус... извините, то није минус... 21 је једнако 0. Тамо треба да буде 0. Значи, добијете х плус 7 је једнако 0, или х минус 3 је једнако 0. х може бити једнако минус 7, или х може бити једнако 3. Дакле, то нам дефинитивно даје исти одговор као растављање, тако да можете рећи, хеј, зашто се мучити са овим? А разлог зашто желимо да се мучимо са овим робустним је што ће такође функционисати код задатака које је тешко раставити. И решимо неколико таквих, решимо сада неке проблеме тешке за раставити. Дакле, сиђимо доле да бисмо добили мало новог простора. Препишимо поново формулу, само за случај да је још увек нисмо запамтили. х ће бити једнако минус b плус или минус квадратни корен од b на квадрат минус 4ас, све то кроз 2а. Применићу ово на други проблем. Рецимо да имамо једначину 3х на квадрат плус 6х је једнако минус 10. Добро, прва ствар коју желимо да урадимо јесте да доведемо то у облик где су сви наши чланови на левој страни, па хајде да додамо 10 обема странама ове једначине. Добијемо 3х на квадрат плус 6х плус 10 је једнако 0. А сада можемо употребити образац за решавање квадратне једначине. Дакле, применимо га овде. Значи, а је једнако 3. То је 1, ово је b, а ово овде је с. Значи образац за решавање квадратне једначине нам говори решења ове једначине. Коренима ове квадратне функције, погађам, да их можемо назвати. х ће бити једнако минус b. b је 6, дакле, минус 6 плус или минус квадратни корен од b на квадрат. b је 6, значи, добијемо 6 на квадрат минус 4 пута а, што је 3 пута с, што је 10. Продужимо малчице знак за корен, све то кроз 2 пута а, 2 пута 3. Дакле, добијемо х је једнако минус 6 плус или минус квадратни корен од 36 минус... ово је интересантно... минус 4 пута 3 пута 10. Значи, ово је минус... 4 пута 3 пута 10. Дакле, ово је минус 120. Све то кроз 6. Дакле, ово је интересантно, можда већ увиђате зашто је ово интересантно. На шта се ово своди? 36 минус 120 је колико? То је 84. Нашао сам "напамет", да погледам. 120 минус 36, Заменили смо ово са 10, ово је постало 11, ово је 4. То је 84, дакле, ово ће бити једнако минус 6 плус или минус квадратни корен од... Али не плус 84, то је када је то 120 минус 36. Ми имамо 36 минус 120. То ће бити минус 84, минус 84, све то, све то кроз 6. Дакле, можете рећи, о боже, ово је чудно. Какву сте ми ово чудну формулу за решавање квадратне једначине приказали Сал? То је безвредно. То ми даје квадратни корен од негативног броја. То ми не даје решење. А разлог зашто вам то не даје решење, барем не решење које желите је, јер овде нема реалних решења. Нема реалних решења. У будућности ћемо представити нешто што се назива имагинарним бројем, што је квадратни корен од негативног броја, а онда можемо стварно изразити ово преко ових бројева. Дакле, овде у ствари има решења, али она укључују имагинарне бројеве. Дакле, овде заправо нема реалних решења, узимамо квадратни корен од негативног броја. Дакле, b на квадрат, b на квадрат минус 4ас, ако је овај овде члан негативан, тада нећете имати ниједно реално решење. И потврдимо то за нас. Извадимо наш графички калкулатор и скицирајмо ову једначину овде. Дакле, скицирајмо график од у је једнако... то је оно што сам имао раније... 3х... хајде да избришем ово, 3х на квадрат плус 6х плус 10. Значи то је једначина и видећемо где функција сече х-осу. Где је она једнака 0? Па, дозволите ми да је скицирам. Хајде да је скицирам. Приметите, ова функција прво опада, а онда се пење. Њено теме стоји овде изнад х-осе и она је отворена на горе. Она никада не сече х-осу. Дакле, ни у једној тачки овај израз, ова функција, није једнака 0. Ни у једној тачки неће бити у једнако 0 на овом графику. Дакле, још једном, образац за решавање квадратне једначине делује да функционише. Решимо још један пример, никада нећете видети довољно примера овог. И желим да урадим један који, знате, можда није тако очигледан за растављање. Па, рецимо да добијемо минус 3х на квадрат плус 12х плус 1 је једнако 0. Сада покушајмо да решимо то само користећи формулу из главе. Дакле, х који ће задовољити ову једначину ће бити минус b. Ово је b. Па је минус b једнако минус 12 плус или минус квадратни корен од b на квадрат, од 144, то је b на квадрат минус 4 пута а, што је минус 3 пута с, што је 1, све то кроз 2 пута а, кроз 2 пута минус 3. Дакле, све то кроз минус 6, ово ће бити једнако минус 12 плус или минус квадратни корем од... Колико је ово? То је минус пута минус тако да се то поништава. Значи, имам 144 плус 12, дакле, то је 156, тачно? 144 плус 12, све то кроз минус 6. Сада, претпостављам да можемо упростити ових 156. Можда можемо извући нешто испред знака корена. Па, приступимо томе. Дакле, раставимо 156 на просте чиниоце. Понекад је ово најтежи део, рационалисање корена. Дакле, 156 је исто као 2 пута 78. 78 је исто као 2 пута шта? То је 2 пута 39, 2 пута 39. Значи, квадратни корен од 156, квадратни корен од 156 је једнак квадратнoм корену од 2 пута 2 пута 39, или можемо рећи да је то квадратни корен од 2 пута 2 пута квадратни корен од 39. А ово ће, очигледно бити квадратни корен од 4, или је ово квадратни корен од 2 пута 2 што је само 2. 2 квадратна корена од 39, ако сам урадио исправно, да видимо, 4 пута 39. Ура, то делује тачно. Дакле, ово овде горе ће се упростити до минус 12 плус или минус 2 пута квадратни корен од 39, све то кроз минус 6. сада можемо поделити бројилац и именилац можда са 2. Значи ово ће бити једнако минус 6 плус или минус квадратни корен од 39 кроз минус 3. Или можемо раздвојити ова два члана. Можемо рећи да је ово једнако минус 6 кроз минус 3 плус или минус квадратни корен од 39 кроз минус 3. Даље, ово је само 2 овде, тачно? Ово се поништава, 6 подељено са 3 је 2, значи, добијемо 2. А сада приметите, ако је ово плус и користимо овај знак минус плус постаје минус, а минус ће постати плус. Али то још увек није битно, тачно? Можемо рећи минус, или плус, то је исто као плус или минус квадратни корен од 39 кроз 3. Мислим да је то толико једноставно колико можемо поједноставити овај одговор. Желим да скроз разјасним шта сам радио у последњем кораку. Нисам заборавио на овај знак минус. Само сам рекао да није битан. Он ће претворити плус у минус. Он ће претворити минус у плус. Дозволите ми да препишем ово. Дакле, ово овде може да се препише као 2 плус квадратни корен од 39 кроз минус 3, или 2 минус квадратни корен од 39 кроз минус 3, тачно? То је оно што плус или минус значи, то може бити ово, или то, или обоје, заиста. Сада у овој ситуацији, ово минус 3 ће се претворити у 2 минус квадратни корен од 39 кроз 3, тачно? Избацујем ово минус испред. Овде минус и минус ће постати плус, и добијате 2 плус квадратни корен од 39 кроз 3, тачно? Минус пута минус је плус. Дакле, још једном, имате 2 плус, или минус квадратни корен од 39 кроз 3. 2 плус, или минус, квадратни корен од 39 кроз 3 су решења ове једначине тамо. Потврдимо. Знатижељан сам како график изгледа. Па, погледајмо га. Дозволите да избришем ово. Где је дугме за брисање? Значи, имамо минус 3 на квадрат плус 12х плус 1 и скцирајмо то графички. Да видимо где су пресеци са х-осом. График иде тамо горе и онда на доле поново. Значи, 2 плус или минус квадратни корен, видите... Квадртани корен од 39 ће бити малчице већи од 6, тачно? Пошто је 36 једнако 6 на квадрат. Дакле, то ће бити малчице веће од 6, тако да ће ово бити малчице веће од 2. Малчице веће од 6 подељено са 2 је малчице веће од 2. Значи добићете једну вредност која је малчице већа од 4 и онда другу вредност која треба да буде малчице мања од 1. И то делује као случај, имате 1, 2, 3, 4. Имате вредност која је приближна 4 и онда имате другу вредност која је малчице... делује близу нули, али можда је малчице мања од тог. Дакле, како било, надам се да вам је ова примена обрасца за решавање квадратне једначине, корисна. ...