Доказ: √2 је ирационалан

... Оно шта желим да урадим у овом снимку јесте да вам докажем да је квадратни корен од 2 ирационалан број. А урадићу ово преко доказа контрадикцијом (супротно од претпоставке). А доказ контрадикцијом се заснива на претпостављању супротног. Дакле, ово је наш циљ, али ради нашег доказа, претпоставимо супротно. Претпоставимо да је квадратни корен од 2 рационалан број. А онда ћемо видети да ли то води до контрадикције, да ово заправо не може бити случај. А ако то не може бити случај, да је рационалан, ако стигнемо до контрадикције претпостављањем да је квадратни корен од 2 рационалан, тада морамо да закључимо да квадратни корен од 2 мора бити ирационалан. Дакле, претпоставимо супротно. Квадратни корен од 2 је рационалан. Па, ако је квадратни корен од 2 рационалан, то значи да можемо записати квадратни корен од 2 као разломак два цела броја, а и b. И можемо такође претпоставити да они немају заједничке чиниоце. Рецимо да су они имали заједничке чиниоце. Да смо поделили бројилац и именилац овим истим чиниоцима, тада долазите у ситуацију где немају заједнички чинилац. Или други начин да кажемо то је да су а и b узајамно прости. Или други начин да кажемо то је, да можемо записати ово као разломак два цела броја где је ово несводљиво, где они више не деле ниједан чинилац. Ако можете записати нешто као разломак два цела броја, тада очигледно можете упростити то даље, извући заједничке чиниоце да дођете до тачке гдe је то несводљиво. Значи, претпоставићу да је моје а и b, да је овај разломак овде несводљив. А ово је важно за постављање наше контрадикције. Дакле, претпоставићу да је ово овде несводљиво. Да они немају чиниоце, да а и b немају заједничке чиниоце. Допустите ми да запишем то пошто је то тако важно за овај доказ. а и ... желим да запишем истом бојом... а и b немају заједничке чиниоце, осим од, погађам, 1, заједничке чиниоце, осим 1. Дакле, ово је несводљиво. Ова два броја су узајамно проста. Онда, шта то чини за нас? Па, покушајмо да транформишемо ово малчице. Квадрирајмо обе стране ове једначине. Дакле, ако квадрирамо позитиван квадратни корен од 2, добићете 2. А то ће бити једнако а на квадрат кроз b на квадрат. а на квадрат кроз b на квадрат. А то произилази из тога што је а кроз b на квадрат исто што и а на квадрат кроз b на квадрат. А сада можемо помножити обе стране овог са b на квадрат. И онда, добијемо 2 пута b на квадрат је једнако а на квадрат. Сада, шта нам ово говори о а на квадрат? Па, а на квадрат је неки број, b на квадрат пута 2. Значи, нешто пута 2 ће бити... ово ће бити цео број. Претпоставили смо да је b цео број, значи b на квадрат мора бити цео број, и онда имате цео број пута 2. Па, то вам мора дати паран број. То вам мора дати паран цео број. Дакле, ово управо овде, а на квадрат, мора бити... дакле, ово нам говори да а на квадрат мора бити парно. Сада, зашто је ово интересантно? Па, а на квадрат је производ два броја, или је производ истог броја. То је а пута а. Дакле, ово је други начин да се каже да је а пута а паран број. Онда, шта нам то говори о а? Подсетимо се. а ће бити или... претпостављамо а је цео број, а ће бити паран или, непаран. Само треба да се подсетимо, ако множимо паран са парним, добијемо паран број. Ако множимо непаран пута непаран, добијемо непаран број. Значи имамо број помножен самим собом. Добили смо паран број. Добро, једини начин да добијемо то је ако је тај број паран. Дакле, ово нам говори да је а паран. А други начин да кажемо да је а паран је да кажемо да а може бити представљен као производ 2 пута неки цео број. Дакле, рецимо да је неки цео број к. Онда, где ово све води? Па, као што ћете видети, можемо онда употребити ово да покажемо да b мора такође бити паран. Па, размислимо о томе малчице. Дакле, вратимо се на овај овде корак. Ако кажемо да а може бити представљен као два пута производ неког целог броја, а то произилази из чињенице да је а паран. Тада можемо преписати овај овде израз као 2... записаћу то овде... 2 пута b на квадрат је једнако 2к на квадрат. Уместо а на квадрат, могу записати 2к на квадрат. Тврдимо или закључујемо, да, претпостављајући све што смо претпоставили да је а паран. Дакле, ако је а паран, он може бити представљен као производ 2 и неког целог броја. И онда можемо записати то 2 пута b на квадрат је једнако 4к на квадрат. 4к на квадрат. И онда делите обе стране са 2. Добијете b на квадрат је једнако 2к на квадрат. је једнако 2 пута к на квадрат. А ово нам говори да, па, к на квадрат ће бити цео број. Узмете било који цео број пута 2 добићете једну парну вредност. Значи ово нам говори да је b на квадрат паран. b на квадрат је паран. Значи то нам говори да је b на квадрат паран. Па, ако је b на квадрат паран, истом логиком коју смо употребили, то нам говори да је b паран. b је паран. Дакле, овде је наша контрадикција. Претпоставили смо, на почетку, да а и b немају заједничке чиниоце различите од 1. Претпоставили смо да је овај овде разломак, а/b, несводљив. И одатле и због чињенице да а/b мора бити једнако квадратном корену од 2, били смо у стању да закључимо да је а паран и b је паран. Па, ако је а паран, а b је паран, и оба имају 2 као чинилац, и онда ово није несводљиво. Можете поделити бројилац и именилац са 2. а и b имају заједнички чинилац 2. Па, дозволите ми да запишем ово. Дакле, ово је само да разјаснимо то. Дакле, одавде и одавде имамо да а и b имају заједнички чинилац 2, што значи да је а кроз b сводљиво. И онда је то контрадикција. То је контрадикција. Дакле, претпостављате да квадратни корен од 2 може бити предствљен као несводљив разломак а/b, несводљив, пошто можете рећи разломак два цела броја овде, то вас води до контрадикције да, но, то заиста може бити сводљиво. Значи, због тога, не можете начинити ову претпоставку. То води до контрадикције. Квадратни корен од 2 мора бити ирационалан. ...