Увод у изометријске трансформације

Оно са чим се надам да ћу вас упознати у овом снимку јесте појам трансформације у математици, а вероватно сте навикнути на ту реч у свакодневном животу. Трансформација значи да се нешто мења, трансформише се из једне ствар у другу. Шта ће транформација подразумевати у математичком контексту? Па, може подразумевати да узимате нешто метематичко и мењате га у нешто друго математичко, то је тачно шта она јесте. Она говори о узимању скупа координата или скупа тачака, и онда мењање њих у други скуп координата или други скуп тачака. На пример, ово управо овде, ово је четвороугао који сам уцртао у координатну раван. Ово је скуп тачака, не само четири тачке које представљају темена четвороугла, већ свих тачака дуж страница такође. Има гомила тачака дуж овог. Можете аргументовати да има бесконачно, илити постоји бесконачно много тачака дуж овог четвророугла. Ово управо овде, тачка Х је једнако 0, у је једнако минус четири, ово је тачка четвороугла. Даље, можемо применити трансформацију на ово, и прво што ћу вам показати је транслација, што подразумева поерање свих тачака у истом правцу, и за исту вредност у том истом правцу, и користим Кхан Академијин виџет да урадим то. Транслирајмо, транслирајмо ово, и могу урадити то узимањем једног темена, и приметите да сам га померио у десно за два. Свака тачка овде, не само наранџасте тачке су померенеу десно за два. Ова је померена у десно за два, ова тачка тачно овде је померена у десно за два, свака тачка је померена у истом правцу за исти износ, то је оно шта је транслација. Сада, померио сам, да видимо да ли сам овде сваку тачку померио у десно за један и на горе један, све су померене за исти износ у истом правцу. То је транслација, али можете замислити транслација није једина врста трансформације. Заправо, постоји неограничен број варијација, постоји неограничен број различитих трансформација. Тако, на пример, могу урадити ротацију. Имам други скуп тачака овде које су представљене четвороуглом, погађам да га могу назвати СD или ВСDE и могу га ротирати, и ротирам га, ротираћу га око тачке. Дакл,е на пример, могу ротирати око тачке D, дакле, ово је са чим крећем, ако, дозволите да проверим да ли могу урадити ово, могу ротирати то као, заправо дајте да проверим. Дакле, ако поченм одавде, могу ротирати то за 90 степени, могу ротирати 90 степени, дакле, могу ротирати то, Могу ротирати то, то делује прилично близу ротацији од 90 степени. Дакле, свака тачка која је била у скупу оригинала или у скупу оригиналних тачака је сада померена у односу на ту тачку око које ротирам. Сада сам је заротирао за 90 степени, тако да је ова тачка сада пресликана у ову тачку овде. Ова тачка се сада пресликала у ову овде тачку, а изабирам само темена јер она су малчице лакша за посматрање. Ова тачка се пресликала у ову тачку. Центар ротације, заправо, пошто је D у суштини центар ротације који се заправо не помера, и само док не дођете до неких термина, скуп тачака након што примените трансформацију ово се назива слика трансформације. Дакле, имао сам четвророугао ВСDE, применио сам обртање од 90 степени у смеру супротном од смера сказаљке на сату око тачке D, и онда овај нови скуп тачака, ово је слика нашег полазног четвороугла након трансформације. Не морам да, дозволите да вратим ово, не морам да ротирам само једну тачку која је у оригиналном скупу, која је на нашем четвороуглу. Могу ротирати око, могу ротирати око полазне. Могу урадити нешто такво. Приметите, то је различита ротација сада. То је различита ротација. Могу ротирати око било које тачке. Сада, посматрајмо другу трансформацију, а то би био појам симетрије, а знате шта симетрија означава у свакодневном животу. Замишљате симетрију као слику у огледалу или на води, а то је тачно шта ћемо урадити овде. Ако пресликавамо, пресликавамо у односу на праву, па, дозволите да урадимо то. Ово, шта је ово, један, два, три, четири, пет, овај неправилан петоугао, пресликајмо га. Да га пресликамо, дозволите да заправо, дозволите ми да нацртам нову праву попут ове. Могу је пресликати преко целог скупа правих. Упс, дајте да видим да ли могу, дакле, пресликајмо то у односу на ово. Онда, шта то значи пресликати преко нечега? Једна начин на који замишљам то је да је ово било, добићемо слику у огледалу, и замишљате ово као осу симетрије у односу на коју су слика и оригинални облик слике у огледалу у односу на ову праву, можемо видети то. Применимо симетрију. Ту сте, и видите имамо слику у огледалу. Ово је оволико далеко од праве. Ова тачка, њена одговарајућа тачка у слици је са друге стране праве и на истом растојању. Ова тачка овде је на овом растојању од праве, а ова тачка овде је на истом растојању али на другој страни. Сада, све трансформације које сам вам управо показао, транслација, симетрија, ротација, оне се називају директне (круте) изометрије. Још једном можете размислити о томе шта директно (круто) значи у свакодневном животу? То означава нешто што није флексибилно. То значи нешто што не можете савити или зумирањем задржава свој облик и то је шта директне трансформације фундаментално представљају. Ако желите да размишљате мало више математички, директна трансформација је једна у којој су дужина и углови константни. Можете видети у овој транформацији тачно овде растојање између ове тачке и ове тачке између тачака Т и R, и растојање између њених одговарјућих тачака слика, да је растојање једнако. Угао овде, угао RTY, мера овог овде угла ако посматрате одговарајућ угао у слици то ће бити једнак угао. Иста ствар је тачна ако примењујете транслацију. Можете замислити да се ово понаша као објекат директне трансформације. Не можете их истегнути, нису флексибилни они задржавају свој облик. Сада, шта би били примери трансформација које нису директне транформације? Па, можете замислити ово као скалирање. Ако бих скалирао ово где су можда углови одржани, али дужина није задржана то не би била директна изометрија. Ако бих требао да развучем једну страницу тога, или ако бих само повукао ову тачку док би остале тачке остале где јесу, искривио бих то или развукао то тако да не буде директна трансформација. Дакле, надам се да схватате ово, то је заправо веома, веома интересантно. Када користите програм за цртање, или у суштини користите много компјутерске графике, или играте видео игрицу, већина од онога шта видео игра јесте су заправо трансформације. Понекад у две димезије, понекад у три димензије, и једном када зађете у вишу математику, посебно ствари као линеарнау алгебру, постоји област која је стварно фокусирана на трансформације. Заправо, неки рачунари са веома добрим графичком картицом графичка картица је део хардвера који је веома добар у вршењу математичких трансформација, тако да можете уронути у 3D стварност или било шта друго. Ово је заиста интересантна ствар.