Запремина и површина ваљка

Хајде да одредимо запремину још неких фигура, а ако будемо имали времена, можда ћемо решити још неки проблем са површином. Дозволите да нацртам ваљак овде. Ово је горња основа ваљка, а ово је висина мог ваљка, ово је доња основа овде. Да је ово провидно, могли бисте да видите задњи део ваљка. Можете ово да замислите као конзерву. Рећићемо да је висина мог ваљка "h" једнака 8. Доделићу неке мере - 8 cm. То је моја висина. И онда, можемо да кажемо да је један од полупречника, на горњој основи ваљка, или моје конзерве, хајде да кажемо да је овај овде полупречник једнак 4 cm. Колика је ова запремина? Колика ће бити запремина? Идеја је је баш иста као што смо видели у претходним проблемима. Можемо да одредимо површину једне основе и да видимо колико дубоко она иде, па ћемо моћи да одредимо запремину. Дакле, оно шта ћемо да урадимо је да одредимо површину горње основе ваљка. Горње основе конзерве, па ћемо то помножити са њеном висином и то ће нам дати запремину. Ово ће нам у суштини рећи колико квадратних центиметара има у горњој основи, и онда ако знамо... ако то помножимо са онолико cm колико иде на доле, добићемо број кубних центиметара у овом ваљку или конзерви. Дакле, како да одредимо ову површину овде? Па, ова површина горе, она је баш иста као површина круга. Можемо да замислимо цртеж овако, ако бисмо га гледали право, то је круг полупречника 4cm. Површина круга чији је полупречник 4cm површина је једнака π r на кадрат. Значи, то ће бити π пута полупречник на квадрат пута 4cm на кварат што је једнако са... 4 на кадрат је 16 пута π, и сада ће наше мере бити cm на квадрат, односно, други начин да о томе мислите, квадратни cm. Дакле, ово је површина. Запремина ће бити ова површина пута висина. Дакле, запремина ће бити једнака 16π cm квадратних... cm квадратних, пута висина пута 8cm... пута 8cm. Када радимо множење, можемо да искористимо особину асоцијативности, можемо да променимо места овим овде. Није битно којим редом то радимо. То је све множење. Дакле, ово је исто као и 16 пута 8. Да видимо, 8 пута 8 је 64 16 пута 8 је дупло веће, то ће бити 128π, сада имамо cm на квадрат пута cm што нам даје cm на куб. Односно, 128 π кубних cm. Запамтите, π је само број. Пишемо га са π зато што је то један луди ирационални број, који се никад... Ако би хтели да га запишемо, никада не би завршили са писањем броја π. 3,14159... и тако се наставља и никада се не понавља. Оставићемо само π, али ако желимо да ово израчунамо можемо да узмемо калкулатор. Ово ће бити приближно 3,14 пута 128. Дакле, ово би било врло близу 400 кубних центиметара. Сада, како би могли да одредимо површину? Како би могли да одредимо поввршину овог овде тела? Па, део површине... су две површине, врх и дно, то ће бити део површине тела и ова површина овде доле ће исто бити део површине тела. Ако покушавамо да нађемо површину... Хајде да... површина... Хајде да одредимо површину нашег ваљка. Она ће сигурно садржати обе ове површине овде. То ће бити 16 π cm квадратних два пута. Ово је 16π, ово је 16 π квадратних центиметара. То ће бити два пута 16 π центиметара квадратних. Оставићу за сада мерне јединице. Дакле, ово покрива горњу и доњу основу конзерве. Сада ћемо да одредимо површину овога што иде около. Како ја то замишљам, замишљам као да смо покушали да упакујемо ово у папир за паковање. Дозволите да то нацртам. Хајде да нацртам малу тачкасту линију овде. Замислите да можете да пресечете ово овако као да сте одсекли страницу конзерве. Ако би некако могли да одмотамо... да одмотамо ово овде што иде около, шта би добили? Па, добили би нешто... Завршили би са листом папира, где је ова овде дужина... ова овде дужина је иста као и ова овде дужина. И онда би то било потпуно развијено. Сада су ова два краја... Хајде да узмем љубичасту. Ова два краја су додиривала један други. Хајде да узмем боју коју још нисам употребио. Узећу розе. Ова два краја су се додиривала када је све било спојено заједно. Они су се спајали баш овде. Дакле, дужина ове стране и ове стране ће бити иста као и висина... као и висина мог ваљка. То ће бити 8 центиметара. Сада ће и ово овде да буде 8 центиметара. Питање које сами себи постављамо је: колика ће бити дужина овог овде? Запамтите да ова димензија у суштини значи колико идемо око ваљка. Па, ако размислимо о томе, то ће бити потпуно исто као обим било горње или доње основе ваљка. Шта је обим? Обим овог овде круга, који је исти као обим овог круга овде... је 2 пута полупречник пута π. Или 2π пута полуречник. 2π пута 4 cm што је једнако са 8π, 8π центиметара. Дакле, ова овде дужина је обим неке од горње или доње основе ваљка. То ће бити 8π cm. Ако желите да одредите површину самог омотача. Само оног дела који иде око ваљка, не врха ни дна. Када га развијемо, то ће изгледати као правоугаоник. Његова површина, површина само тог дела ће бити једнака са 8 cm са 8 π cm. Дајте да то урадим овако, то ће бити 8 cm пута 8 π cm... 8 π cm. То ће бити једнако са 64π... 8 пута 8 је 64, и још имате π. Имамо наше π центиматара на квадрат. Сада, када желите да одредите површину целе ствари, имате горњу и доњу површину. То смо већ ставили овде. Онда хоћете да одредите површину ове ствари около. То смо управо одредили, па ће бити плус 64 π cm квадратних и сада још само треба да израчунамо. Ово нам даје 2 пута 16π, то ће бити 32, то је 32π центиметара квадратних. Плус 64π, дајте да се померим мало десно. Плус 64 π cm квадратних. Још 32 плус 64 је 96π cm квадратних. То је једнако са 96π... 96π квадратних центиметара. Дакле, то је 96π квадратних центиметара, што ће бити мало више од 300 квадратних центиметара. Уочите, када смо одредили површину, добили смо решење у квадратним центиметрима. То има смисла јер је површина дводимензионална мера. Размишљамо о томе колико квадратних центиметара стане у површину ваљка. Када смо радили запремину, добили смо кубне... центиметре на куб, односно кубне центиметре. То је зато што смо покушавали да одредимо колико 1x1 cm коцки, колико коцки димензије 1x1x1 cm може да стане унутар овог тела. Због тога су кубни центиметри. У сваком случају, надам се да вам је сада мало јасније.