Гарфилдов доказ Питагорине теореме

... Оно шта ћемо урадити у овом снимку јесте да ћемо научити доказ Питагорине теореме који је први открио, или колико знамо, први открио Џејмс Гарфилд 1876, и шта је занимљиво у вези овог је да он није био професионалан математичар. Можда знате Џејмса Гарфилда као 20-ог председника Сједињених Држава. Он је био изабрани председник. Изабран је 1880. а затим постаје председник 1881. А он је урадио овај доказ док је био члан Представничког Дома Сједињених Држава. И шта је узбудљиво у вези са овим је то да то показује да није само Абрахам Линколн био УС политичар, или не једини УС председник који је познавао геометрију. И оно што је Гарфилд увидео јесте да ако конструишете правоугли троугао... дакле, даћу све од себе да конструишем један. Дакле, допустите ми да конструишем једна прав угао овде. Па, рецимо да је ова овде страница дужине b. Рецимо да је ова страница дужине а и рецимо да ова страница, хипотенуза мог правоуглог троугла, поседује дужину с. Значи. управо сам конструисао пристојан правоугли троугао, и дозволите да разјасним. То је правоугли троугао. Он је затим преврнуо и ротирао овај правоугли троугао да конструише још један који је подударан првом. Па, дозволите да конструишем то. Значи, имаћемо дужину b и она је колинеарна са дужином а. Оне су дуж исте праве, требао бих рећи. Не поклапају се међусобно. Дакле, ово је страница дужине b и онда имате страницу дужине... дајте да нацртам а, тако да ће ово бити малчице више... страница дужине b. И онда, имате вашу страницу дужине а код правог угла. Ваша страница дужине а се налази код правог угла. И онда, имате вашу страницу дужине с. Имате вашу страницу дужине с. Дакле, прва ствар о којој треба да размислимо јесте колики је угао између ове две странице? Колики је мистериозни угао? Колики ће тај мистериозни угао бити? Па, делује као да је, али да видимо да ли можемо доказати да је он заиста онолики колики мислимо да јесте. Ако бацимо поглед на овај полазни троугао и назовемо овај угао "тета", колики је овај угао овде, угао који је између странице дужине а и странице дужине с? Колика ће бити мера овог угла? Па, тета плус овај угао треба збирно да дају 90. Пошто када саберете ова два они дају 90. И онда, имате још 90. Добићете 180 степени за унутрашње углове овог троугла. Значи, ова два треба збирно да дају 90. Овај угао ће бити 90 минус тета. Значи, ако је овај троугао подударан, а конструисали смо га тако да буде подударан... одговарајући угао овом је овај прав угао овде. Дакле, ово ће такође бити тета, а ово овде ће бити 90 минус тета. Па, са датим да је ово тета, ово је 90 минус тета, колики ће наш угао бити? Па, они сви заједно дају 180 степени. Значи, имате тета плус 90 минус тета, плус наш мистериозни угао да је једнако са 180 степени. Тете се поништавају. Тета минус тета. И имате 90 плус наш мистериозни угао једнако 180 степени. Одузмете 90 од обе стране, и остаје вам да је ваш мистериозни угао једнак 90 степени. Дакле, то је све испало добро. Па, дозволите да разјасним то, а то ће нам бити од користи ускоро. То ће бити од користи. Дакле, можемо сада рећи дефинитивно да је ово 90 степени. Ово је прав угао. Даље, оно што ћемо урадити јесте да ћемо конструисати трапез. Ова страница је паралелна са страницом b доле, по начину на који је конструисана а ово је само једна страница овде. Ова иде право на горе, а сада повежимо ове две странице тамо. Повежимо ове две странице тамо. Па, постоји неколико начина да размишљамо о површини овог трапеза. Један је да га можемо посматрати као трапез и извести његову површину, а затим, можете га посматрати као збир површина његових делова. Па, прво га посматрајмо као трапез дакле, шта знамо о површини трапеза? Па, површина трапеза ће бити висина трапеза, што је а плус b. а плус b... То је висина трапеза. Пута... начин на који посматрам то... средња вредност горње и доње, или аритметичка средина горње и доње. Дакле, плус... Пошто је то ово пута једна половина пута а плус b. а плус b. По интуицији, узимате висину множите са аритметичком средином ове доње и горње. Аритметичка средина доње и горње вам даје површину трапеза. Даље, како можемо такође одредити површину ових делова фигуре? Без обзира како рачунамо површину, све док све док предузимамо исправне кораке, треба да добијемо исти резултат. Онда, како можемо извести ову површину? Па, можемо рећи да је то површина два правоугла троугла. Површина сваког од њих је једна половина а пута b, али има их два. Дозволите да запишем то b у тој истој плавој боји. Али ту су два ова правоугла троугла. Па, помножимо са два. Значи, два пута једна половина аb. То укључује овај доњи правоугли троугао и овај горњи. А колика је површина овог великог који ћу обојити у зелено? Колика је површина овог великог? Па, то је прилично једноставно. То је само једна половина с пута с. Значи, плус једна половина с пута с, што је једна половина с на квадрат. Сада, упростимо ово и видимо шта ћемо добити, и можете погодити куда све ово води. Дакле, да видимо шта добијамо. Па, можемо измешати ово. Дозволите да испремештам ово. Дакле, једна половина пута а плус b на квадрат ће бити једнако 2 пута једна половина. Па, то ће бити само један. Дакле, то ће бити једнако са а пута b плус једна половина плус једна половина. Плус једна половина плус једна половина. Па, ја не волим да ми ова половина виси овде, па, помножимо обе стране ове једначине са 2. Помножићу обе стране ове једначине са 2. На левој страни, остаје ми а плус b на квадрат. Па, дозволите ми да запишем то. а плус b на квадрат, плус b на квадрат. А на десној страни, остаје ми 2аb. 2аb Трудим се да пратим боје исправно. И онда, 2 пута једна половина с на квадрат, то ће бити с на квадрат плус с на квадрат. Добро, шта се дешава ако помножите а плус b са а плус b? Колико је а плус b на квадрат? Па, то ће бити а на квадрат плус 2аb плус b на квадрат. И онда, наша десна страна ће бити једнака са свим овим. И мењање свих боја је тешко за мене, па ми дозволите да копирам и дозволите ми да налепим то. Дакле, то ће и даље бити једнако са десном страном. Добро, ово је интересантно. Како можемо упростити ово? Постоји ли нешто што можемо одузети од обе стране? Па, сигурно да постоји. Имате 2аb на левој страни. Имате 2аb на десној страни. Одузмимо 2аb од обе стране. Ако одузмете 2аb од обе стране, шта вам остаје? Остаје вам Питагорина теорема. Дакле, остаје вам а на квадрат плус b на квадрат је једнако с на квадрат. Вема, веома узбудљиво. А за то, треба да захвалимо 20-ом председнику Сједињених Држава, Џејмсу Гарфилду. Ово је веома узбудљиво. Питагорина теорема, постојала је хиљадама година пре Џејмса Гарфилда, а он је био у стању да допринесе једној врсти доказа док је био члан УС дома представништва. ...