Особине експонента са множењем

Особине експонената примењена на производ. Бројеви и операције У овом снимку, желим да урадим гомилу примера који укључују својства експонената. Али, пре него што урадим то, хајде да малчице поновимо шта један експонент представља. Дакле, рецимо да сам имао 2 на трећи степен. Можда бисте кренули да кажете, хеј, је ли то 6? А ја бих одговорио: не, то није 6. Ово значи 2 помножено са самим собом, три пута. Значи, ово ће бити једнако са 2 пута 2 пута 2, што је једнако са 2 пута 2, то је 4, 4 пута 2 је једнако са 8. Да сам желео да вас питам колико је 3 на други степен или 3 на квадрат, ово је једнако са 3 помножено са самим собом, два пута. Ово је једнако са 3 пута 3. Што је једнако са 9. Урадимо још један овакав.. Мислим, да добијате општи осећај, ако никада нисте видели ово пре. Рецимо да имам 5 на седми степен. То је једнако са 5 помножено са самим собом, седам пута. 5 пута 5 пута 5 пута 5 пута 5 пута 5 пута 5 То је седам, тачно? Један, два, три, четири, пет, шест, седам. Ово ће бити веома, веома, веома, веома велики број и нећу га израчунавати сада. Ако желите да урадите из главе, слободно. Или употребите калкулатор, али ово је веома, веома, веома, велики број. Дакле, једна ствар коју можете приметити веома брзо је да експонент расте веома брзо. 5 на 17-ти би био чак много, много већи број. Али како било, то је понављање експонента. Хајде да мало закорачимо у алгебру, користећи експоненете. Дакле, шта ће 3х... дозволите ми да урадим ово различитом бојом... колико ће бити 3х пута 3х пута 3х? Па, једна ствар коју морате запамтити о множењу јесте, да није битан редослед којим радите множење. Дакле, ово ће бити исто као 3 пута 3 пута 3 пута х пута х пута х. И базирано на ономе што смо управо поновили овде, тај део баш ту, 3 пута 3, три пута, то је 3 на трећи степен. А ово баш овде, х помножено са самим собом три пута. То је х на трећи степен. Значи, ово све може бити преписано као 3 на трећи пута х на трећи. Или ако знате колико је 3 на трећи, ово је 9 пута 3, што је 27. Ово је 27 х на трећи степен. Сада, можда бисте могли рећи, хеј, зар није 3х пута 3х пута 3х? Зар није то 3х на трећи степен? Тачно? Множите 3х са самим собом, три пута. И рекао бих, да, то јесте тако. Дакле, ово, баш ту, можете интерпретирати то као 3х на трећи степен. И тек тако, набасали смо на једно од наших својстава експонената. Приметите ово. Када имам нешто пута нешто и све то на трећи степен, то је једнако са сваким од тих на трећи степен помножено међусобно. Дакле, 3х на трећи степен је исто што и 3 на трећи пута х на трећи, што је 27 пута х на трећи степен. Урадимо још неки пример. Шта да сма вас питао колико је 6 на трећи пута 6 на шести степен. Ово ће бити заиста велики број, али желим да запишем то као степен од 6, Дозволите ми да запишем 6 на шести у различитој боји. 6 на трећи пута 6 на шести степен, чему ће ово бити једнако? Па, 6 на трећи, знамо да је то 6 помножено са самим собом три пута. Дакле, то је 6 пута 6 пута 6. И онда ће то бити пута... знак за пута је овде у зеленој боји, тако да ћу урадити у зеленој боји. Можда, начинићу их обоје у наранџастој. То ће бити пута 6 на шести степен. Па, колико је 6 на шести степен? То је 6 помножено са самим собом шест пута. Дакле, то је 6 пута 6 пута 6 пута 6 пута 6. Онда имате још једном, пута 6, Дакле, колики ће бити овај цео број? Па, овај цео број... множимо 6 са самим собом... колико пута? Један, два, три, четири, пет, шест, седам, осам, девет пута, тачно? Три пута овде и онда других шест пута овде. Дакле, множимо 6 са самим собом девет пута. 3плус 6. Значи, ово је једнако са 6 на 3 плус 6 степен или 6 на девети степен. И тек тако, докучили смо још једно својство експонената. Када радимо са експонентима, у овом случају, 6 на трећи, број 6 је основа. Узимамо 6 као основу на експонент 3. Када имате исту основу и множите два експонента са истом основом, можете сабрати експоненте. Дозволите ми да урадимо још неколико примера од овога. Урадимо их у магента боји. Рецимо да сам имао 2 на квадрат пута 2 на четврти пута 2 на шести. Добро, имам исту основу у сваком од ових, Могу сабрати експоненте. Ово ће бити једнако са 2 на 2 плус 4 плус 6, што је једнако са 2 на 12-ти степен. И надам се да то има смисла, пошто ће ово бити 2 помножено са самим собом, 2 помножено са самим собом четири пута, 2 помножено са самим собом шест пута. Када измножите све то, то ће бити 2 помножите са собом, 12 пута или 2 на 12-ти степен. Урадимо то на мало више апстрактан начин, користећи неке променљиве, али идеја је потпуно иста. Колико је х на квадрат или х на квадрат пута х на четврти? Па, можемо користити својство које смо управо научили. Имамо потпуно исту основу, х. Дакле, то ће бити х на 2 плус 4 степен. То ће бити х на шести степен. А ако ми не верујете, колико је х на квадрат? х на квадрат је једнако х пута х. Да је требало да помножите то пута х на четврти, множите то са х са самим собом четири пута. х пута х пута х пута х. Значи, колико пута сада множите х са самим собом? Па, један, два, три, четири, пет, шест, х на шести степен. Урадимо још један од ових. Што више примера видите, сматрам, биће боље. Онда, пређимо остала својства, да бисмо их комбиновали и повезали. Рецимо да имам а на трећи па на четврти степен. Значи, показаћу вам својство овде и показаћу вам зашто оно има смисла. Када подижете нешто на експонент и када затим дижете то на један експонент, можете помножити експоненте. Дакле, ово ће бити а на 3 пута 4 степен или 12 степен. А зашто то има смисла? Па, ово управо овде је а на трећи помножено самим собом четири пута. Значи, ово је једнако са а на трећи пута а на трећи пута а на трећи пута а на трећи. Добро, имамо исту основу, тако да можемо сабрати експоненте. Дакле, то ће бити а на 3 пута 4, тачно? Ово је једнако са а на 3 плус 3 плус 3 плус 3 степен, што је исто што и а на 3 пута 4 степен или а на 12 степен. Даље, само да бисмо поновили својства која смо научили раније у овом снимку, поред понављања онога што један експонент јесте, ако имам х на а-ти степен пута х на b-ти степен, ово ће бити једнако са х на а плус b степен. Видели смо то тамо. х на квадрат пута х на четврти је једнако х на шести, 2 плус 4. Такође смо видели да ако имам х пута у на а-ти степен, ово је исто што и х на а-ти степен пута у на а-ти степен. Видели смо то раније у овом снимку. Видели смо то овде. 3х на трећи је исто што и 3 на трећи пута х на трећи. То је оно што ово овде каже. 3х на трећи је исто што и 3 на трећи пута х на трећи. И онда последње својство, на које смо управо налетели горе је, ако имате х на а-ти и онда подижете то на b-ти степен, то је једнако са х на а пута b. И видели смо то тамо. а на трећи и онда дизање тога на четврти степен је исто што и а на 3 пута 4 или а на 12-ти степен. Дакле, хајде да употребимо ова својства да решимо још неколицину комплексних задатака. Рецимо да имамо 2 ху на квадрат пута минус х на квадрат у на квадрат пута три х на квадрат у на квадрат. И желимо да упростимо ово. Па, добро место да се почне. Хајде можда се може упростити ово. Ово можете посматрати као минус 1 пута х на квадрат пута у на квадрат. Дакле, ако узмемо ово све на други степен, ово је попут дизања сваког од ових на други степен. Дакле, овај део управо овде би могао бити упрошћен као минус 1 на квадрат пута х на квадрат, пута у на квадрат. А затим ако бих требао да упростим то, минус 1 на квадрат је само 1, х на квадрат...запамтите можете множити експоненте....дакле, то ће бити х на четврти у на квадрат. То је оно ка чему се овај средњи део упрошћује. И хајде да видимо да ли га можемо спојити са осталим деловима. Други делови, само да поновимо, су били 2 ху на квадрат и онда 3х на квадрат у на квадрат. Добро, сада идемо напред и редом множимо све. А научили смо код множења да није битан редослед у ком множите. Тако да могу мењати редослед. Идемо даље и множимо 2 пута х пута у на квадрат пута х на четврти пута у на квадрат пута 3 пута х на квадрат пута у на квадрат. Дакле, могу мењати редослед овога и променућу га тако да буде лакши за израчунавање. Дакле, могу множити 2 пута 3, а затим бринем о изразима са х. Дозволите ми да урадим то у овој боји. Затим имам пута х пута х на четврти степен пута х на квадрат. А онда треба да бринем о изразима са у, пута у на квадрат пута друго у на квадрат пута још једно у на квадрат. Пута још једно у на квадрат. И сада, чему је ово једнако? Па, 2 пута 3. Знате како да решите то. То је једнако са 6. А колико је х пута х на четврти степен пута х на квадрат. Па, једна ствар за запамтити је да је х исто што и х на први степен. Било шта на први степен је управо тај број. Дакле, знате, 2 на први степен је само 2. 3 на први степен је само 3. Онда, чему ће ово бити једнако? Ово ће бити једнако... имамо исту основу, х. Можемо сабрати експоненте, х на 1 плус 4 плус 2 а сабраћу то у следећем кораку. А онда прелазимо на у, ово је пута у на 2 плус 2 плус 2. И колико нам то даје? То нам даје 6 на седми степен, у на шести степен. И управо ћу вас оставити са неком ствари коју можда већ знате, али она је прилично интересантна. А то је питање шта се дешава када узмете нешто на нулти степен? Дакле, ако кажем 7 на нулти степен, чему је то једнако? И управо ћу вам рећи,... а ово може изгледати веома супротно интуицији... ово је ејднако 1 или 1 на нулти степен је такође једнако 1. Било шта на нулти степен, сваки ненула број на нулти степен ће бити једнак са 1. И само да бих вам дао мало подстрека колико је то. Размишљајте о томе на овај начин. 3 на први степен... дозволите ми да запишем степене... 3 на први, други, трећи. Радимо то само са бројем 3. Дакле, 3 на први степен је 3. Мислим да то има смисла. 3 на други степен је једнако 9. 3 на трећи степен је једнако 27. И наравно, покушавамо да одредимо колико треба да буде 3 на нулти степен? Па, размислите о томе. Сваки пута када смањујете експонент. Сваки пута када смањујете експонент по 1, делите са 3. Да стигнемо од 27 до 9, делите са 3. Да стигнете од 9 до 3, делите са 3. Тако, да стигнете од овог експонента до тог експонента, можда бисмо требали поделити са 3 поново. И то је зашто, било шта на нулти степен, у овом случају 3 на нулти степен је једнако 1. Видимо се у следећем снимку.