Више примера сабирања и одузимања полинома

... У овом снимку желим да вас упознам са појмом полинома. Полинома. Можда стварно звучи као фенси реч, али заправо све што она јесте је израз који садржи гомилу променљивих или константих израза у себи који су подинути на не-нулти сепен. Дакле, то вероватно такође звучи компликовано. Па, дозволите ми да вам покажем један пример. Да сам вам дао х на квадрат плус 1, ово би био један полином. Ово је, у ствари, бином јер има два монома. Термин полином је много општији. То у суштини говори да имате много израза. Поли значи много. Ово је бином. Ако бих рекао 4х на трећи минус 2 на квадрат плус 7. Ово је трином. Имам три члана овде. Дозволите ми да вам дам само конкретнији осећај за оно шта јесте а шта није полином. На пример, ако бих имао х на минус 1/2 плус 1, ово није полином. То не значи да никад нећете видети то док се бавите алгебром или математиком. Али ово не бисмо назвали полиномом, јер садржи негативан и рационалан експонент у себи. Или, ако бих вам дао израз у пута квадратни корен од у минус у на квадрат. Још једном, ово није полином, јер садржи квадратни корен у себи, што је у суштини подизање нечега на степен 1/2. Дакле, сви експоненти на нашим променљивим ће морати да буду не-негативни. Још једном, ништа од овога нису полиноми. Сада, када имамо посла са полиномима, имаћемо неку терминологију. А ви јесте, или нисте већ упознати са њом, па ћу вам је изложити управо сада. Први термин је степен полинома. Степен полинома. И у суштини, то је највиши степен који имамо у полиному. Тако на пример, тај полином, тамо, је полином трећег степена. Зашто је то тако? Нема потребе да наставим да пишем то. Зашто је то полином трећег степена? Јер највиши степен који имамо ту у њему је х на трећи степен. Дакле, то је одакле добијамо да је полином трећег степена. Ово овде је полином другог степена. А ово је моном другог степена. Сада, неколико других термина или речи које треба да знамо поводом полинома су константни насупрот променљивих чланова. И мислим да већ знате ово су променљиви чланови овде. Ово је константни члан. То тамо је константан члан. А онда последњи део у рашчлањавању полинома правилно је да разумете коефицијенте полинома. Дакле, дозволите ми запишем овде полином петог степена. А записаћу га на можда неконвенцијалан начин баш овде. Нећу га записати редом. Дакле, рецимо да је то х на квадрат минус 5х плус 7х на пети минус 5. Дакле, још једном, ово је полином петог степена. Зашто је то тако? Јер највећи изложилац на променљивој овде је 5, овде. Дакле, ово нам говори да је ово полином петог степена. И могли бисте рећи, па, зашто бисмо уопште водили рачуна о томе? А на крају, по мом мишљењу, разлог зашто бринем о степену полинома је пошто када бројеви постану велики, моном највећег степена је оно што заиста доминира свим осталим члановима. Он ће расти најбрже, или ићи у минус најбрже, у зависности од тога да ли је плус или минус испред њега. Али он ће доминирати свему осталом. То вам заиста даје осећај за колико брзо, или колико брзо ће цео израз расти или опадати у случају ако има негативан коефицијент. Сада, управо сам искористио реч коефицијент. Шта то значи? Коефицијент. А ја сам га користио раније, кад смо радили линеарние једначине. И коефицијенти су само константни изрази који множе променљиве. Тако на пример, коефицијент овог члана овде, коефицијент овог члана овде је минус 5. Морате запамтити да имамо минус 5, тако да узимамо минус 5 за цео коефицијент. Коефицијент код овог члана је 7. Нема коефицијента овде; то је само константан члан од минус 5. А затим коефицијент члана х на квадрат је 1. Коефицијент је 1. То имплицира.. Претпостављате да је то 1 пута х на квадрат. Сада, последња ствар коју желим да вам представим је идеја о стандардном облику полинома. Стандардном облику полинома. Сада ништа од овога вам неће помоћи да решите полином још увек, али када говоримо о решавању полинома, ја могу корисити неки од ових термина или ваш наставник може користити неки од ових термина. Дакле, добро је знати оно о чему говоримо. Стандардни облик полинома је заправо низ монома поређаних по степену. Дакле, ово је нестандардни облик. Ако бих требао да поређам овај полином у стандардном облику ставио бих овај моном први. Дакле, записао бих 7х на пети, онда шта је следећи мањи степен? Па, ту је ово х на квадрат. Немам х на четврти или х на трећи овде. Тако да ће то бити плус 1... значи не морам да запишем 1... плус х на квадрат. А онда имам овај члан, минус 5х. А онда имам овај последњи члан овде, минус 5. Ово је стандардни облик полинома где га имате у опадајућем редоследу или степену. Хајде да сада урадимо неколико операција са полиномима. А ово ће бити супер користан алат касније у вашим алгебарским, или заиста, у вашим математичкик каријерама. Дакле, хајде да поједноставимо гомилу полинома. А ми смо некако дотакли ово у претходним снимцима. Али мислим да ће вам ово дати бољи осећај, посебно када имамо ове овде изразе већег степена. Дакле, рецимо да сам желео да саберем минус 2х на квадрат плус 4х минус 12. И додаћу томе 7х плус х на квадрат. Важна ствар да запамтите када поједностављујете ове полиноме је да ћете сабрати мономе истих променљивих истог степена. Урадићу други пример где имам променљиве укључене у проблематику. Али у сваком случају, имам овде ове заграде, али оне у суштини не раде ништа. Да сам имао знак одузимања овде, морао бих да увучем минус у заграду, али немам. Дакле, заиста могу записати ово као минус 2х на квадрат плус 4х минус 12 плус 7х плус х на квадрат. А сада упростимо то. Дакле, хајде да саберемо мономе истог степена. А када кажем истих степена, они такође морају имати исте променљиве. Али у овом примеру, имамо само променљиву х. Дакле, хајде да сабирамо. Хајде да видимо, имам овај израз х на квадрат и имам тај израз х на квадрат, тако да их могу сабрати. Дакле, имам минус 2х на квадрат...дозволите ми да их запишем прво заједно... минус 2х на квадрат плус х на квадрат. А затим, дозволите ми да спојимо х изразе, дакле, 4х и 7х. Дакле, ово је плус 4х плус 7х. И коначно, имам само овај константан израз тачно овде, минус 12. А када имам минус 2 нечега и додајем томе 1 нечега, шта имам? Минус 2 плус 1 је једнако минус 1х на квадрат. Могао бих написати само минус х на квадрат. Али ја само желим да вам покажем да само сабирам минус 2 са 1 тамо. Онда имам 4х плус 7х је једнако 11х. И онда на крају имам мој константни члан, минус 12. И завршавам са три монома, полиномом другог степена. Водећи коефицијент овде, коефицијент највишег степена у стандардној форм-- већ је у стандардном облику ...је минус 1. Коефицијент овде је 11. Константан израз је минус 12. Хајде да урадимо још један од ових примера. Мислим да стичете општи осећај. Сада ми дозволите да урадим компликованији пример. Дакле, рецимо да имам 2а на квадрат b, минус 3аb на квадрат, плус 5а на квадрат b на квадрат, минус 2а на квадрат b на квадрат, плус 4а на квадрат b, минус 5 b на квадрат. Дакле, овде имам знак минус, имам више променљивих. Али хајдемо кроз то корак по корак. Дакле, прва ствар коју желите да урадите је да увучете овај знак за минус. Дакле, први део можемо записати као 2а на квадрат b, минус 3аb на квадрат, плус 5а на квадрат b на квадрат. А онда желимо да дистрибуирамо овоај знак минус, или помножимо све ове изразе са минус 1 пошто имамо минус овде испред. Дакле, минус 2а на квадрат b на квадрат минус 4а на квадрат b. А минус пута минус је плус 5b на квадрат. А сада желимо да у суштини саберемо сличне изразе. Тако да имам овај израз 2а на квадрат b на квадрат. Онда, да ли имам још неки израз који садржи а на квадрат b на квадрат у себи? Извините, а на квадрат b. Морам да будем веома пажљив овде. Добро, то је аb на квадрат, односно а на квадрат b на квадрат. Ох! Овде имам а на квадрат b. Дакле, дозволите ми да запишем то. Дакле, имам 2а на квадрат b минус 4а на квадрат b. То су ова два члана, тамо. Дозволите ми да пређем на наранџасту боју. Дакле, овде имам један члан аb на квадрат. Онда, имам ли овде још неки члан аb на квадрат? још неки израз аb на квадрат? Не, нема других аb на квадрат, дакле, записаћу то: минус 3 аb на квадрат. А онда да видимо, имам члан а на квадрат b на квадрат овде. Имам ли га још негде? Па да, сигурно, следећи члан је. То је један члан а на квадрат b на квадрат, па, дозволите ми да запишем то. Плус 5а на квадрат b на квадрат минус 2а на квадрат b на квадрат, зар не? Управо сам написао та два. И на крају имам тај последњи члан b на квадрат, плус 5b на квадрат. Сада могу да их саберем. Дакле, ова прва група тачно овде, у овој љубичастој боји, 2 нечега минус 4 нечега ће бити минус 2 тог нечега. Дакле, то ће бити минус 2а на квадрат b. А онда овај израз овде, он се неће сабирати ни са чим, 3аb на квадрат. И онда можемо додати ова два члана. Ако имам 5 од нечега минус 2 нечега, имаћу 3 тог нечега. Плус 3а на квадрат b на квадрат. И онда на крају имам овај последњи члан овде, плус 5 b на квадрат. Завршили смо. Средили смо овај полином. Овде, доводећи га на стандардни облик, можете размишљати о томе на различите начине. Начин на који желим да мислим о том је можда комбиновање степена чланова. Можда бисмо могли ставити овај прво, али ово стварно зависи од вашег укуса. Дакле, ово је 3а на квадрат b на квадрат. А онда можете изабрати који год желите да ставите пре а на квадрат b, или аb на квадрат. 2а на квадрат b. А онда имате минус 3аb на квадрат. А онда имамо само израз b на квадрат тамо. Плус 5b на квадрат. И завршили смо. Упростили смо овај полином. Сада, оно што желим да урадим следеће јесте неколико примера конструисања полинома. И заиста, идеја је да вам се да слика о томе зашто су полиноми од користи, апстрактна репрезентација. Користићемо то све време, не само у алгебри, већ и касније у рачунању и мање или више у свему. Тако да су то стварно добре ствари да се упознате са њима. А оно што желим да урадим у ова четири примера јесте да представим површину сваке од ових фигура са полиномом. И покушаћу да упарим боје што више могу. Дакле овде, шта је површина? Па, овај плави део баш овде, површина тога је х пута у. х пута у. А онда, колика је површина овде? Биће х пута z. Дакле, плус х пута z. Али ми имамо два тога. Имамо један х пута z, а онда имамо још једно х пута z. Дакле, могао бих да додам једно х пута z овде. Или могао бих записати, рецимо, плус 2 пута х пута z. А овде имамо полином који презентује површину ове фигуре тачно тамо. Сада, урадимо овај следећи. Колика је површина овде? Па, имам а пута b. аb. Ово изгледа као једно а пута аb поново, плус аb. То изгледа као поново аb, плус аb. Плус аb. Мислим да су нацртали то, заправо, мало чудно. Па, игнорисаћу ово с тамо. Можда нам они говоре да је ово баш овде с. Пошто је то информација која нам је потребна. Можда нам говоре да је ова основа тачно тамо, да је ово овде, с. Јер то би нам помогло. Али ако претпоставимо да је ово овде друго аб, што ћу претпоставити за сврху овог снимку. И онда имамо то последње аb. И онда имам још ово једно а пута с. Једно а пута с. Ово је површина ове фигуре. И очигледно можемо сабрати ова четири израза. Ово је 4аb и онда имамо плус ас. А начинио сам претпоставку да је ово случај, када нам то с заправо говори ширину овог малог квадрата овде. Ми не знамо да ли је то квадрат, то је само случај када су а и с једнаки. Хајде да урадимо овај. Дакле, како одређујемо површину пинк области? Па, можемо узети површину целог правоугаоника, што ће бити 2ху, а онда бисмо могли одузети површину ових овде квадрата. Дакле, сваки квадрат има површину х пута х или х на квадрат. А имамо два таква квадрата, тако да ће то бити минус 2х на квадрат. И онда на крају урадимо овај овде. Дакле, то тамо личи на разломачку црту. Дакле, површина ове тачке, ове површине тамо је а пута b, дакле то је аb. И онда изгледа да ће ова површина овде такође бити аb. Дакле, плус аb. А површина овде је такође аb. Дакле, површина овде је 3аb. У сваком случају, надам се да нас је то загрејало за полиноме. ...