Доказ квадратне формуле

... У последњем снимку сам вам рекао да ако сте имали квадратну једначину облика ах на квадрат плус bх плус с је једнако нула, можете употребити формулу за решавање квадратне једначине да одредите решења ове једначине. А формула за решавање квадратне једначине је била х, решења би била једнака минус b плус или минус квадратни корен од b на квадрат минус 4ас, све то кроз 2а. А научили смо како да је користимо. Дословно само замените бројеве а за а, b за b, с за с и онда вам то даје два решења, јер имате плус или минус, тамо. Оно што желим да урадим у овом снимку јесте да вам заправо докажем ово. Докажите то користећи, у суштини комплетирање квадрата, могу доћи од тога, до тога тамо. Дакле, прва ствар коју желим да урадим, тако да могу започети комплетирање квадрата од ове тачке овде је... дозволите ми да препишем једначину управо овде... тако да имамо ах... дозволите ми да запишем то различитом бојом... имам ах на квадрат плус bх, плус с је једнако 0. Значи, прво што желим да урадим је да поделим све са а, тако да имате само 2 овде испред као коефицијент. Дакле, делите све са а, добијете х на квадрат плус b кроз а х плус с кроз а је једнако 0 кроз а, што је још увек 0. Сада желимо да... добро, дајте да пребацим с кроз а члан на десну страну, па одузмимо с кроз а од обе стране. И добијемо х на квадрат плус b кроз а х, плус... па, оставићу празнину овде, пошто ће ово сада нестати; одузели смо то од обе стране... је једнако минус с кроз а, оставио сам места тамо тако да можемо комплетирати квадрат. И видели сте у снимку о комплетирању квадрата, дословно само узмете 1/2 овог овде коефицијента и квадрирате то. Онда, колико је b кроз а подељено са 2? Или колико је 1/2 пута b кроз а? Па, то је само b кроз 2а и, наравно, ми ћемо квадрирати то. Узмете 1/2 од овог и квадрирате то. То је оно што смо радили код комплетирања квадрата, тако да можемо претворити ово у потпуни квадрат бинома. Сада, наравно, не можемо само додати b кроз 2а на квадрат левој страни. Морамо додати то обема странама. Дакле, имате а плус b кроз 2а на квадрат тамо такође. Сада шта се дешава? Па, ово овде, овај израз овде, ово је потпуно иста ствар као ах плус b кроз 2а на квадрат. И ако ми не верујете, измножићу то. Тих х плус b кроз 2а на квадрат је х плус b кроз 2а пута х плус b кроз 2а. х пута х је х на квадрат. х пута b кроз 2а је плус b кроз 2ах. Имате b кроз 2а пута х, што је још једно b кроз 2ах, и онда имате b кроз 2а пута b кроз 2а, то је плус b кроз 2а на квадрат. То и ово су исте ствари, пошто ова два средишња члана, b кроз 2а плус b кроз 2а, то је исто као 2b кроз 2а х, што је исто као b кроз а х. Дакле, ово се поједностављује до х на квадрат плус b кроз а х, плус b кроз 2а на квадрат, што је тачно шта смо записали управо тамо. То је била сва поента додавања овог члана обема странама, тако да то постане потпуни квадрат. Дакле, лева страна се поједностављује до овог. Десна страна, можда није тако једноставна. Можда ћемо оставити то овако какво је сада. Заправо, хајде да поједноставимо то малчице. Дакле, десна страна, можемо преписати то. Ово ће бити једнако са... па, ово ће бити b на квадрат. Записаћу прво тај члан. Ово је b... дајте да запишем то у зеленој боји тако да можемо пратити. Дакле, тај члан тамо може бити записано као b на квадрат кроз 4а на квадрат. А колики је овај члан? Колико ће то постати? Ово ће постати... у циљу да имамо 4а на квадрат као именилац, морамо да помножимо бројилац и именилац са 4а. Дакле, овај израз овде ће постати минус 4ас кроз 4а на квадрат. И можете проверити за себе да је то исто као то. Само сам помножио бројилац и именилац са 4а. заправо, четворке се потиру и онда се ово потире и остаје вам с кроз а. Значи ово и то је еквивалентно. Само сам заменио шта пишем прво. И можда сте већ видели зачетак формуле за решавање квадратне једначине овде. Па, ово могу преписати. Ово могу преписати. Десна страна, управо овде, могу преписати као b на квадрат минус 4ас, све то кроз 4а на квадрат. Ово делује веома близу. Приметите, b на квадрат минус 4ас, то се већ појављује. Немамо још увек квадратни корен, али нисмо узели квадратни корен од обе стране ове једначине, па урадимо то. Значи, ако узмете квадратни корен од обе стране, лева страна ће постати х плус... дозволите ми да сиђем доле малчице х плус b кроз 2а ће бити једнако плус или минус квадратни корен од овог. А квадратни корен од овог је квадратни корен од бројиоца кроз квадратни корен од имениоца. Дакле, ово ће бити плус или минус квадратни корен од b на квадрат минус 4ас кроз квадратни корен од 4а на квадрат. Даље, колики је квадратни корен од 4а на квадрат? То је 2а, тачно? 2а на квадрат је 4а на квадрат. 2а на квадрат је 4а на квадрат. Квадратни корен од овог је то тачно овде. Значи, да стигнемо одавде довде, само узмем квадратни корен од обе стране ове једначине. Сада, ово делује веома близу формуле. Имамо b на квадрат минус 4ас кроз 2а, сада само, у суштини, треба да одузмемо ово b кроз 2а од обе стране једначине и завршили смо. Па, урадимо то. Дакле, ако одузмете b кроз 2а од обе стране ове једначине, шта добијете? Добијете х је једнако минус b кроз 2а, плус или минус квадратни корен од b на квадрат минус 4ас кроз 2а, заједнички именилац. Дакле, ово је једнако минус b. Дозволите ми да запишем ово у новој боји. То је наранџаста. Минус b плус или минус квадратни корен од b на квадрат минус 4ас, све то кроз 2а. И завршили смо. Комплетирањем квадрата са општим коефицијентима испред наших а, b и с, били смо у стању да изведемо формулу за решавање квадратне једначине. Управо тако. Надам се да вам је ово било занимљиво колико и мени.